Ogled vira Kvadratni koren števila 2

{| class="infobox bordered" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | {{iracionalna števila}}
|-
| [[dvojiški številski sistem|dvojiško]]
| {{gaps|1,0110|1010|0000|1001|111...}}
|-
| [[desetiški številski sistem|desetiško]]
| {{gaps|1,41421|35623|73095|0488...}}
|-
| [[šestnajstiški številski sistem|šestnajstiško]]
| {{gaps|1,6A09|E667|F3BC|C908|B2F...}}
|-
| [[šestdesetiški številski sistem|šestdesetiško]]
| 1; 24, 51, 10, 07, 46, 06, 04, 44, 50, ...
|-
| [[verižni ulomek]]
| <math> [1; \overline{2}] </math><br />{{small|Verižni ulomek <math> \sqrt{2} \!\, </math> je [[periodični verižni ulomek|periodičen]].}}
|}
[[Slika:Square root of 2 triangle.svg|thumb|right|200px|[[Kvadratni koren]] števila [[2 (število)|2]] je enak [[dolžina|dolžini]] [[hipotenuza|hipotenuze]] [[enakokraki pravokotni trikotnik|enakokrakega pravokotnega trikotnika]] s [[kateta]]ma dolžine 1, oziroma dolžini [[diagonala|diagonale]] [[kvadrat (geometrija)|kvadrata]] s [[stranica]]mi dolžine 1.]]
[[Slika:Dedekind cut- square root of two.png|thumb|right|200px|Kvadratni koren števila 2 na [[številska premica|številski premici]]]]
[[Slika:Ybc7289-bw.jpg|thumb|right|200px|Babilonska glinena tablica YBC 7289 s pripombami. (Slika: Bill Casselman)]]

'''Kvadratni koren števila 2''', ali tudi '''Pitagorova konstanta''', je [[pozitivno število|pozitivno]] [[realno število]], ki [[množenje|pomnoženo]] samo s seboj da [[naravno število]] [[2 (število)|2]].

[[Kvadratni koren]] števila 2 je geometrično [[dolžina]] [[diagonala|diagonale]] [[kvadrat (geometrija)|kvadrata]] s [[stranica]]mi dolžine 1, kar sledi iz [[Pitagorov izrek|Pitagorovega izreka]]. Verjetno je bilo prvo znano [[iracionalno število|iracionalno]] [[algebrsko število]]. Njegova številska vrednost na 65 [[desetiški številski sistem|desetiških]] mest je {{OEIS|id=A002193}}:

: 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799....

Kvadratni koren števila 2 se po navadi zapiše v obliki [[korenjenje|surda]]:

: <math> \sqrt{2}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;ali&nbsp;&nbsp;&nbsp;√2, 

lahko pa se ga zapiše tudi s [[potenciranje|potenčnim]] zapisom kot:

: <math> 2^{1/2} \!\, </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;ali&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2<sup>1/2</sup>, oziroma z zapisom [[Unicode]] 2<sup>½</sup>.

Na preprostih [[kalkulator]]jih brez funkcije kvadratnega korena se lahko za kvadratni koren iz 2 vzame peti [[racionalno število|racionalni]] približek <math>\tfrac{99}{70}</math>. Čeprav je imenovalec le 70, se [[ulomek]] od prave vrednosti razlikuje manj kot 1/10000.

== Zgodovina ==

Na [[Babilonija|babilonski]] glineni tablici YBC 7289 (okoli 1800–1600 pr. n. št.) je naveden približek <math>\scriptstyle\sqrt{2}\, </math> s štirimi [[šestdesetiški številski sistem|šestdesetiškimi]] znaki, kar ustreza približno šestim desetiškim znakom:<ref>{{sktxt|Fowler|Robson|1998|pp=368}}.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Fotografija, risba in opis tablice s korenom iz 2 iz Yale Babylonian Collection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |date=2012-08-13 }}<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html Fotografije visoke ločljivosti, opisi in analiza tablice (YBC 7289) iz Yale Babylonian Collection]</ref>

: <math> \sqrt{2} \approx 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^{2}} + \frac{10}{60^{3}} = \frac{30547}{21600} = 1,41421\overline{296} \!\, . </math>

Drugi približek tega števila je podan v starodavnih indijskih besedilih, [[Šulba sutra]]h (okoli 800–200 pr. n. št.), avtorjev [[Baudhajana|Baudhajane]], [[Apastamba|Apastambe]] in [[Katjajana|Katjajane]], kjer je navedeno: »Povečaj dolžino stranice za njeno tretjino, in to tretjino za njeno četrtino in odštej štiriintrideseti del te četrtine.«<ref>Henderson.</ref> Navedek da približek:

: <math> \sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3\cdot 4} - \frac{1}{3\cdot 4\cdot 34} = \frac{577}{408} = 1,414\overline{2156862745098039} \!\, . </math>

Ta starodavni indijski približek je sedmi v zaporedju naraščajočih približkov na podlagi zaporedja [[Pellovo število|Pellovih števil]], ki se jih lahko izpelje iz razvoja <math>\scriptstyle\sqrt{2}\, </math> v neskončni [[verižni ulomek]]. 

Odkritje iracionalnih števil se običajno pripisuje [[pitagorejstvo|pitagorejskemu]] [[filozof]]u [[Hipas]]u iz [[Metapont]]a, ki je podal (po vsej verjetnosti geometrijski) [[matematični dokaz|dokaz]] o iracionalnosti kvadratnega korena iz 2. Po neki legendi je [[Pitagora]] verjel v [[absolutnost]] števil, in ni mogel sprejeti obstoja iracionalnih števil. Z [[logika|logiko]] sicer ni mogel izpodbiti njihovega obstoja, vendar jih ni mogel sprejeti, in je celo obsodil Hipasa na smrt z utopitvijo.<ref name=wp>[http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm Washingtonpost.com: The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity]</ref><ref>{{sktxt|Singh|1998|pp=50}}.</ref> Druga legenda pravi, da so Hipasaa utopili drugi pitagorejci ali pa so ga le izključili iz svojega kroga.<ref>[http://scienceworld.wolfram.com/biography/Hippasus.html Hipas iz Metaponta (okoli 500 pr. n. št.) - iz World of Scientific Biography Erica Weissteina]</ref><ref name=wp /> Po tretji legendi so ga pitagorejci vrgli z ladje.<ref>{{sktxt|Kline|1990|pp=32}}.</ref>

== Značilnosti ==

Kvadratni koren iz 2 je [[kvadratno iracionalno število]] in je zato njegov razvoj v neskončni verižni ulomek [[periodični verižni ulomek|periodičen]]:

: <math> \begin{align}
\sqrt{2} &= 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}} \equiv [1; \overline{2}] \\
         &= \left\{ 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \frac{1393}{985}, \frac{3363}{2378}, \frac{8119}{5741}, \frac{19601}{13860}, \frac{47321}{33461}, \frac{114243}{80782}, \frac{275807}{195025}, \ldots \right\} \,\! . \end{align} </math>

== Glej tudi ==

* [[kvadratni koren števila 3]]
* [[kvadratni koren števila 5]]
* [[srebrni rez]]
* [[Viètove enačbe]]
* [[babilonska matematika]]

== Sklici ==

{{sklici|4}}

== Viri ==

{{refbegin|4}}
* {{navedi revijo|last1= Fowler|first1= David|authorlink1= |last2= Robson|first2= Eleanor|date= november 1998|title= Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context|journal= Historia Mathematica|volume= 25|issue= 4|pages= 366–378|id= |url= http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf|accessdate= |doi= 10.1006/hmat.1998.2209}}
* {{navedi splet|last= Henderson|first= David W.|url= http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html|title= Square Roots in the Sulbasutra|accessdate= |language=en}}
* {{navedi knjigo|last= Kline|first= Morris|authorlink= Morris Kline|date= 1990|title= Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|url= https://archive.org/details/mathematicalthou00klin|publisher= Oxford University Press}}
* {{navedi knjigo|last= Singh|first= Simon|authorlink= Simon Singh|date= 1998|title= Fermat's Enigma|url= https://archive.org/details/fermatsenigmaque0000sing}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{kategorija v Zbirki|Square root of 2|kvadratni koren števila 2}}
* {{MathWorld|id=PythagorassConstant|title=Pythagoras's Constant}}

{{-}}

{{iracionalno število}}
{{algebrska števila}}
{{mnogokotniki}}

{{math-stub}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Matematične konstante]]
[[Kategorija:Iracionalna števila]]
[[Kategorija:Algebrska števila]]
[[Kategorija:Pitagorov izrek]]