Kvadratni koren števila 2

	Predloga:Iracionalna števila
dvojiško	Predloga:Gaps
desetiško	Predloga:Gaps
šestnajstiško	Predloga:Gaps
šestdesetiško	1; 24, 51, 10, 07, 46, 06, 04, 44, 50, ...
verižni ulomek	[1;2‾]; Predloga:Small

Babilonska glinena tablica YBC 7289 s pripombami. (Slika: Bill Casselman)

Kvadratni koren števila 2, ali tudi Pitagorova konstanta, je pozitivno realno število, ki pomnoženo samo s seboj da naravno število 2.

Kvadratni koren števila 2 je geometrično dolžina diagonale kvadrata s stranicami dolžine 1, kar sledi iz Pitagorovega izreka. Verjetno je bilo prvo znano iracionalno algebrsko število. Njegova številska vrednost na 65 desetiških mest je Predloga:OEIS:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799....

Kvadratni koren števila 2 se po navadi zapiše v obliki surda:

\sqrt{2}

ali √2,

lahko pa se ga zapiše tudi s potenčnim zapisom kot:

2^{1 / 2}

ali 2^1/2, oziroma z zapisom Unicode 2^½.

Na preprostih kalkulatorjih brez funkcije kvadratnega korena se lahko za kvadratni koren iz 2 vzame peti racionalni približek $\frac{99}{70}$ . Čeprav je imenovalec le 70, se ulomek od prave vrednosti razlikuje manj kot 1/10000.

Zgodovina

Na babilonski glineni tablici YBC 7289 (okoli 1800–1600 pr. n. št.) je naveden približek $\sqrt{2}$ s štirimi šestdesetiškimi znaki, kar ustreza približno šestim desetiškim znakom:^[1]

\sqrt{2} \approx 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{6 0^{2}} + \frac{10}{6 0^{3}} = \frac{30547}{21600} = 1, 41421 \overline{296} .

Drugi približek tega števila je podan v starodavnih indijskih besedilih, Šulba sutrah (okoli 800–200 pr. n. št.), avtorjev Baudhajane, Apastambe in Katjajane, kjer je navedeno: »Povečaj dolžino stranice za njeno tretjino, in to tretjino za njeno četrtino in odštej štiriintrideseti del te četrtine.«^[2] Navedek da približek:

\sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 34} = \frac{577}{408} = 1, 414 \overline{2156862745098039} .

Ta starodavni indijski približek je sedmi v zaporedju naraščajočih približkov na podlagi zaporedja Pellovih števil, ki se jih lahko izpelje iz razvoja $\sqrt{2}$ v neskončni verižni ulomek.

Odkritje iracionalnih števil se običajno pripisuje pitagorejskemu filozofu Hipasu iz Metaponta, ki je podal (po vsej verjetnosti geometrijski) dokaz o iracionalnosti kvadratnega korena iz 2. Po neki legendi je Pitagora verjel v absolutnost števil, in ni mogel sprejeti obstoja iracionalnih števil. Z logiko sicer ni mogel izpodbiti njihovega obstoja, vendar jih ni mogel sprejeti, in je celo obsodil Hipasa na smrt z utopitvijo.^[3]^[4] Druga legenda pravi, da so Hipasaa utopili drugi pitagorejci ali pa so ga le izključili iz svojega kroga.^[5]^[3] Po tretji legendi so ga pitagorejci vrgli z ladje.^[6]