Ogled vira Legendrova funkcija hi

'''Legendrova funkcija hi''' (običajna označba <math>\chi_{\nu} (z)\, </math>) je v [[matematika|matematiki]] [[specialna funkcija]] katere [[Taylorjeva vrsta]] je tudi [[Dirichletova vrsta]]. Imenuje se po francoskem matematiku [[Adrien-Marie Legendre|Adrienu-Marieu Legendru]]. Definirana je kot [[neskončna vrsta]]:

: <math> \chi_{\nu} (z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu}}, \qquad ( |z| \le 1, \Re( \nu) > 1, \nu \in \{ 0, \Z^{+} \} ) \!\, . </math>

Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo [[polilogaritem|polilogaritma]] in se jo res da trivialno izraziti v členih polilogaritma kot:

: <math> \begin{align}
 \chi_{\nu} (z) &= \frac{1}{2} \left [\operatorname{Li}_{\nu} (z) - \operatorname{Li}_{\nu} (-z) \right] \\
                &= \operatorname{Li}_{\nu} (z) - 2^{- \nu} \operatorname{Li}_{\nu} \left( z^{2} \right) \!\, . \end{align} </math>

Legendrova funkcija <math>\chi_{\nu} (z)\, </math> se pojavlja v [[diskretna Fourierjeva transformacija|diskretni Fourierjevi transformaciji]] glede na red ν [[Hurwitzeva funkcija zeta|Hurwitzeve funkcije ζ(''s'', ''q'')]]<ref>{{sktxt|Cvijović|Klinowski|1999}}.</ref> in tudi kot [[Eulerjev polinom|Eulerjevi polinomi]] z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.

Legendrova funkcija <math>\chi_{\nu} (z)\, </math> je posebni primer [[Lercheva funkcija zeta|Lerchevega transcendenta]] <math>\Phi(z, s, \alpha)\, </math> in je na ta način podana kot:

: <math> \chi_{\nu} (z) = 2^{-\nu}z\,\Phi (z^{2},\nu,1/2) \!\, . </math>

== Značilnosti ==

=== Posebne vrednosti Legendrove funkcije χ<sub>ν</sub> ===

: <math> \chi_{0} (1) = \lambda (0) = 0 \!\, , </math> kjer je <math>\lambda (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija lambda|Dirichletova funkcija &lambda;]].
: <math> \chi_{2} (i) = i \beta (2) = iG \!\, , </math> kjer je <math>i\, </math> [[imaginarna enota]], <math>\beta (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija beta|Dirichletova funkcija &beta;]], <math>G\, </math> pa [[Catalanova konstanta]].
: <math> \chi_{2} (-1) = \chi_{2} (1) \!\, . </math>

: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{5} - 2 \right) = \frac{\pi^{2}}{24} - \frac{3}{4} \left( \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right) \right)^{2} = 0,237559901279 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{2} - 1 \right) = \frac{\pi^{2}}{16} - \frac{1}{4} \left( \ln (\sqrt{2} + 1) \right)^{2} = 0,422645425094 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{2} (1/2) = 0,515327366694 \ldots \!\, . </math> 
: <math> \chi_{2} \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right) = \chi_{2} (\Phi - 1) = \frac{\pi^{2}}{12} - \frac{3}{4} \left( \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right) \right)^{2} = 0,648793417991 \ldots \!\, , </math> kjer je <math>\Phi\, </math> [[število zlatega reza]].
: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{3} - 3/4 \right) = 1,029963554710 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{2} (1) = \lambda (2) = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \cdots =  \frac{\pi^{2}}{8} = 1,233700550136 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A111003}}.
: <math> \chi_{3} (1/2) = 0,504905519133 \ldots \!\, . </math> 
: <math> \chi_{3} (1) = \frac{7 \zeta (3)}{8} = 1,051799790264 \ldots \!\, , </math> kjer je <math>\zeta (n)\, </math> [[Riemannova funkcija zeta|Riemannova funkcija &zeta;]], {{OEIS|id=A233091}}.
: <math> \chi_{4} (1) = \lambda(4) = 1 + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{5^{4}} + \cdots = \frac{\pi^{4}}{96} = 1,014678031604 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{5} (1) = \frac{31 \zeta (5)}{32} = 1,004523762795 \ldots \!\, . </math>

In v splošnem:

: <math> \chi_{n} (1) = \lambda (n) = \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \zeta (n) = 
\left( 1 + \frac{1}{2^{n}-2} \right) \eta (n) \!\, , </math> kjer je <math>\eta (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija eta|Dirichletova funkcija &eta;]].
: <math> \chi_{n} (i) = i \beta (n) \!\, . </math>

Za [[liho število|liha]] [[pozitivno število|pozitivna]] [[celo število|cela števila]] velja zveza :

: <math> \chi_{2n+1} (1) = \lambda (2n+1) = \left(1 - \frac{1}{2^{2n+1}} \right) \zeta(2n+1), \qquad (n \ge 1) \!\, . </math>

== Enakosti ==

: <math> \chi_{2} (x) + \chi_{2} (1/x)= \frac{\pi^{2}}{4}-\frac{i \pi}{2}|\ln x|, \qquad ( x > 0) \!\, , </math>
: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\chi_{2} (x) = \frac{{\operatorname{arc\, tanh} \,} x}{x} \!\, . </math>

== Integralski izrazi ==

: <math> \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{arc\, sin} (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta 
= \chi_{2} \left( r \right) \!\, , </math>
: <math> \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{arc\, tg} (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta 
= -\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{ r \theta \cos \theta}{1+ r^{2} \sin^{2} \theta} \mathrm{d}\theta  
= 2 \chi_{2} \left( \frac{\sqrt{1+r^{2}}- 1}{r} \right) \!\, , </math>
: <math> \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{arc\, tg} (p \sin \theta) \operatorname{arc\, tg} (q \sin \theta) \mathrm{d} \theta = \pi \chi_{2} \left( \frac{\sqrt{1+p^{2}}- 1}{p}\cdot\frac{\sqrt{1+q^{2}}- 1}{q} \right) \!\, , </math>
: <math> \int_{0}^{\alpha}\int_{0}^{\beta} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{d} y}{1-x^{2} y^{2}} = \chi_{2}(\alpha\beta), \qquad ( |\alpha\beta|\le 1 ) \!\, . </math>

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

* {{citat|last1= Cvijović|first1= Djurdje|last2= Klinowski|first2= Jacek|url= http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-99-01091-1|title= Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments|journal= [[Mathematics of Computation]]|date= 1999|volume= 68|issue= 228|pages= 1623-1630|doi= 10.1090/S0025-5718-99-01091-1|MR= 1648375}}
* {{navedi revijo|last1= Cvijović|first1= Djurdje|title= Integral representations of the Legendre chi function|journal= [[J. Math. Anal. Appl.]]|date= 2007|volume=332|issue= |pages= 1056-1062|arxiv= 0911.4731|doi= 10.1016/j.jmaa.2006.10.083}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=LegendresChi-Function|title=Legendre's Chi Function}}
* [http://math.stackexchange.com/questions/555882/integral-int-01-frac-arctan2x-sqrt1-x2dx Mathematics Stack Exchange] {{ikona en}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Specialne funkcije]]
[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]]
[[Kategorija:1811 v znanosti]]
[[Kategorija:Adrien-Marie Legendre]]