Legendrova funkcija hi

Legendrova funkcija hi (običajna označba ${\chi }_{\nu }(z)$) je v matematiki specialna funkcija katere Taylorjeva vrsta je tudi Dirichletova vrsta. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru. Definirana je kot neskončna vrsta:

${\chi }_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1{)}^{\nu }},(|z|\le 1,\mathrm{\Re }(\nu )>1,\nu \in \{0,{\mathbb{Z}}^{+}\}).$

Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo polilogaritma in se jo res da trivialno izraziti v členih polilogaritma kot:

$\begin{array}{cc}{\chi }_{\nu }(z)& =\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-{\mathrm{Li}}_{\nu }(-z)]\\ & ={\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-2^{-\nu }{\mathrm{Li}}_{\nu }\left(z^2\right).\end{array}$

Legendrova funkcija ${\chi }_{\nu }(z)$ se pojavlja v diskretni Fourierjevi transformaciji glede na red ν Hurwitzeve funkcije ζ(s, q) in tudi kot Eulerjevi polinomi z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.

Legendrova funkcija ${\chi }_{\nu }(z)$ je posebni primer Lerchevega transcendenta $\mathrm{\Phi }(z,s,\alpha )$ in je na ta način podana kot:

${\chi }_{\nu }(z)=2^{-\nu }z\mathrm{\Phi }(z^2,\nu ,1/2).$

Značilnosti

Posebne vrednosti Legendrove funkcije χ_ν

${\chi }_0(1)=\lambda (0)=0,$ kjer je $\lambda (n)$ Dirichletova funkcija λ.

${\chi }_2(i)=i\beta (2)=iG,$ kjer je $i$ imaginarna enota, $\beta (n)$ Dirichletova funkcija β, $G$ pa Catalanova konstanta.

${\chi }_2(-1)={\chi }_2(1).$

${\chi }_2(\sqrt{5}-2)=\frac{{\pi }^2}{24}-\frac{3}{4}{(\ln \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right))}^2=0,237559901279\dots .$

${\chi }_2(\sqrt{2}-1)=\frac{{\pi }^2}{16}-\frac{1}{4}{(\ln (\sqrt{2}+1))}^2=0,422645425094\dots .$

${\chi }_2(1/2)=0,515327366694\dots .$

${\chi }_2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)={\chi }_2(\mathrm{\Phi }-1)=\frac{{\pi }^2}{12}-\frac{3}{4}{(\ln \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right))}^2=0,648793417991\dots ,$ kjer je $\mathrm{\Phi }$ število zlatega reza.

${\chi }_2(\sqrt{3}-3/4)=1,029963554710\dots .$

${\chi }_2(1)=\lambda (2)=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{8}=1,233700550136\dots ,$ Predloga:OEIS.

${\chi }_3(1/2)=0,504905519133\dots .$

${\chi }_3(1)=\frac{7\zeta (3)}{8}=1,051799790264\dots ,$ kjer je $\zeta (n)$ Riemannova funkcija ζ, Predloga:OEIS.

${\chi }_4(1)=\lambda (4)=1+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{96}=1,014678031604\dots .$

${\chi }_5(1)=\frac{31\zeta (5)}{32}=1,004523762795\dots .$

In v splošnem:

${\chi }_n(1)=\lambda (n)=(1-\frac{1}{2^n})\zeta (n)=(1+\frac{1}{2^n-2})\eta (n),$ kjer je $\eta (n)$ Dirichletova funkcija η.

${\chi }_n(i)=i\beta (n).$

Za liha pozitivna cela števila velja zveza :

${\chi }_{2n+1}(1)=\lambda (2n+1)=(1-\frac{1}{2^{2n+1}})\zeta (2n+1),(n\ge 1).$

Enakosti

${\chi }_2(x)+{\chi }_2(1/x)=\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{i\pi }{2}|\ln x|,(x>0),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\chi }_2(x)=\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}x}{x}.$

Integralski izrazi

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(r\sin \theta )\mathrm{d}\theta ={\chi }_2\left(r\right),$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(r\sin \theta )\mathrm{d}\theta =-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{r\theta \cos \theta }{1+r^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta =2{\chi }_2\left(\frac{\sqrt{1+r^2}-1}{r}\right),$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(p\sin \theta )\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(q\sin \theta )\mathrm{d}\theta =\pi {\chi }_2(\frac{\sqrt{1+p^2}-1}{p}\cdot \frac{\sqrt{1+q^2}-1}{q}),$

$\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{1-x^2{y}^2}={\chi }_2(\alpha \beta ),(|\alpha \beta |\le 1).$

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Navedi revijo

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Mathematics Stack Exchange Predloga:Ikona en