Ogled vira Linearna algebra

{| style="border:8px solid white" align=right
|-
|
{| class="wikitable" style=max-width:450px
|+Nekateri predmeti, ki jih proučuje linearna algebra
|align=center|[[File:Vector space illust.svg|120px]]<br />[[Vektor (matematika)|Vektor]]
|align=center|[[File:Linear subspaces with shading.svg|180px]]<br /> V tridimenzionalnem [[Evklidski prostor|evklidskem prostoru]] te tri ravnine predstavljajo rešitve linearnih enačb, njihov presek pa skupek skupnih rešitev: v tem primeru ena točka. Modra črta je skupna rešitev dveh enačb.
|-
|align=center|[[File:Rotation illustration.png|120px]]<br /><br />[[Linearna transformacija|Linearne transformacije]]
|align=center|[[File:Intersecting Lines.svg|160px]]<br />[[Sistem linearnih enačb|Sistemi linearnih enačb]]
|-
|align=center|[[File:Matrix.gif|120px]]<br />[[Matrika|Matrike]]
|align=center|<math>\mathbf{A}{\color{Red}\xi}={\color{Blue}\lambda}{\color{Red}\xi}</math><br />[[Lastne vrednosti in lastni vektorji]]
|-
|align=center|[[File:Ellipsoide.png|120px]]<br />[[Kvadrik]]i
|align=center|[[File:Epsilontensor.svg|180px]]<br />[[Tenzor]]ji
|}
|}
'''Linearna algebra''' je [[Matematika|matematična]] [[Matematična disciplina|disciplina]], ki se ukvarja s proučevanjem [[Vektor (matematika)|vektorjev]], [[Vektorski prostor|vektorskih prostorov]] (ali [[Linearni prostor|linearnih prostorov]]), [[Linearna transformacija|linearnih transformacij]] in [[Sistem linearnih enačb|sistemov linearnih enačb]]. Konkretno upodobitev linearne algebre najdemo v [[Analitična geometrija|analitični geometriji]]. Vektorski prostori so osrednja tema sodobne matematike; torej se linearna algebra na široko uporablja v [[Abstraktna algebra|abstraktni algebri]] in [[Funkcionalna analiza|funkcionalni analizi]]. Zelo je uporabna tudi v [[Naravoslovje|naravoslovnih]] in [[Družboslovje|družboslovnih]] [[znanost]]ih.

Nanaša na [[Linearna enačba|linearne enačbe]], kot so:
:<math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math>
[[Linearna transformacija|linearne transformacije]], kot so:
:<math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n,</math>
in njihove predstavitve v [[Vektorski prostor|vektorskih prostorih]] in skozi [[Matrika|matrice]].<ref>{{Citat|last=Banerjee|first=Sudipto|last2=Roy|first2=Anindya|date=2014|title=Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics|series=Texts in Statistical Science|publisher=Chapman and Hall/CRC|edition=1.|isbn=978-1420095388}}</ref><ref>{{Citat|last=Strang|first=Gilbert|date=July 19, 2005|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=Brooks Cole|edition=4th|isbn=978-0-03-010567-8}}</ref><ref>{{Navedi splet|last=Weisstein|first=Eric|title=Linear Algebra|url=http://mathworld.wolfram.com/LinearAlgebra.html|website=From MathWorld--A Wolfram Web Resource.|publisher=Wolfram|accessdate=16 April 2012}}</ref>

Linearna algebra je osnova za skoraj vsa področja matematike. Na primer, linearna algebra je temeljna v sodobnih predstavitvah [[Geometrija|geometrije]], vključno z definicijami osnovnih objektov, kot so [[Premica|črte]], [[Ravnina|ravnine]] in [[Rotacija (matematika)|rotacije]]. Tudi [[Funkcionalna analiza|funkcionalno analizo]], vejo matematične analize, lahko razumemo kot aplikacijo linearne algebre v [[Funkcijski prostor|prostorih funkcij]].

Linearna algebra se uporablja tudi v velikem številu znanostih in področij [[Inženirstvo|tehnike]], saj omogoča [[Matematični model|modeliranje]] številnih naravnih pojavov in učinkovito računanje s takšnimi modeli. Za [[Nelinearni sistem|nelinearne sisteme]], ki jih ni mogoče modelirati z linearno algebro, se pogosto uporabljajo [[Red aproksimacije|približki prvega reda]].

== Vektorski prostori ==
{{Glavni|Vektorski prostor}}
Do 19. stoletja je bila linearna algebra predstavljena s [[Sistem linearnih enačb|sistemi linearnih enačb]] in [[Matrika|matrik]]. V sodobni matematiki se na splošno prednostno uporablja z ''vektorskimi prostori'', ker je bolj [[Aksiomatična geometrija|aksiomatična]], bolj splošna (ni omejena na končnorazsežne primere) in konceptualno enostavnejša, čeprav bolj abstraktna.

Vektorski prostor nad [[Polje (matematika)|poljem]] {{Matematična formula|''F''}} (pogosto polje [[Realno število|realnih števil]]) je [[množica]] {{Matematična formula|''V''}} opremljena z dvema [[Binarna operacija|binarnima operacijama]], ki izpolnjujeta sledeče [[Aksiom|aksiome]]. [[Element (matematika)|Elementi]] {{Matematična formula|''V''}} se imenujejo ''vektorji'', elementi ''F'' pa ''skalarji''. Prva operacija, ''[[Vektor (matematika)|seštevanje vektorjev]]'', vzame katera koli dva vektorja {{Matematična formula|'''v'''}} in {{Matematična formula|'''w'''}} in rezultat je tretji vektor {{Matematična formula|'''v''' + '''w'''}}. Druga operacija, ''[[Množenje vektorja s številom|skalarno množenje]]'', vzame kateri koli skalar {{Matematična formula|''a''}} in kateri koli vektor {{Matematična formula|'''v'''}} in rezultat je nov {{Brez preloma|vektor {{math|''a'''''v'''}}}}. Aksiomi, ki jih morata zadovoljiti seštevanje in skalarno množenje, so navedeni spodaj. (Na spodnjem seznamu so {{Matematična formula|'''u''', '''v'''}} in {{Matematična formula|'''w'''}} poljubni elementi {{Matematična formula|''V''}}, {{Matematična formula|''a''}} in {{Matematična formula|''b''}} sta poljubna skalarja v polju {{Matematična formula|''F''}})<ref>{{Harvard citation text|Roman|2005}}</ref>
{| border="0" style="width:100%;"
|'''Aksiom'''
| '''Označevanje'''
|-
| [[Asociativnost]] seštevanja
| {{Matematična formula|1='''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[Komutativnost]] seštevanja
| {{Matematična formula|1='''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''}}
|-
| [[Nevtralni element|Identiteta]] seštevanja
| Obstaja element {{Matematična formula|'''0'''}} znotraj {{Matematična formula|''V''}}, imenovan ''[[ničelni vektor]]'' (ali preprosto ''nič),'' tako da {{Matematična formula|1='''v''' + '''0''' = '''v'''}} za vse {{Matematična formula|'''v'''}} znotraj {{Matematična formula|''V''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[Inverzni element|Inverzni elementi]] seštevanja
| Za vsak {{Matematična formula|'''v'''}} znotraj {{Matematična formula|''V''}} obstaja element {{Matematična formula|−'''v'''}} znotraj {{Matematična formula|''V''}}, imenovan ''[[nasprotna vrednost]]'' od {{Matematična formula|'''v'''}}, tako da je {{Matematična formula|1='''v''' + (−'''v''') = '''0'''}}
|-
| [[Distributivnost]] skalarnega množenja glede na vektorsko seštevanje
| {{Matematična formula|1=''a''('''u''' + '''v''') = ''a'''''u''' + ''a'''''v'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| Distributivnost skalarnega množenja glede na seštevanje polj
| {{Matematična formula|1=(''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''}}
|-
| Združljivost skalarnega množenja z množenjem polja
| {{Matematična formula|1=''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v'''}} {{Efn|This axiom is not asserting the associativity of an operation, since there are two operations in question, scalar multiplication: ''bv''; and field multiplication: ''ab''.}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| Identiteta skalarnega množenja
| {{Matematična formula|1=1'''v''' = '''v'''}}, kjer {{Matematična formula|1}} označuje [[Nevtralni element|multiplikativno identiteto]] {{Mvar|F}}
|}
Prvi štirje aksiomi pomenijo, da je {{Matematična formula|''V''}} [[abelova grupa]] pri seštevanju.

Element določenega vektorskega prostora ima lahko različno naravo; lahko je na primer [[zaporedje]], [[funkcija]], [[Kolobar polinoma|polinom]] ali [[matrika]]. Linearna algebra se ukvarja s tistimi lastnostmi objektov, ki so skupni vsem vektorskim prostorom.

=== Linearne preslikave ===
{{Glavni|Linearna transformacija}}
'''Linearne preslikave''' so [[Preslikava|preslikave]] med vektorskimi prostori, ki ohranjajo strukturo vektorskega prostora. Če obstajata dva vektorska prostora {{Matematična formula|''V''}} in {{Matematična formula|''W''}} nad poljem {{Mvar|F}}, potem je linearna preslikava (v nekaterih kontekstih imenovana tudi linearna transformacija) [[preslikava]]

: <math> T:V\to W </math>

to je združljivo z seštevanjem in skalarnim množenjem, tj.

: <math> T(\mathbf u + \mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v), \quad T(a \mathbf v)=aT(\mathbf v) </math>

za vse vektorje {{Matematična formula|'''u''','''v'''}} znotraj {{Matematična formula|''V''}} in skalar {{math|''a'', ''b''}} znotraj {{mvar|F}}

To pomeni, da za katerikoli vektorje {{math|'''u''', '''v'''}} znotraj {{math|''V''}} in skalarje {{math|''a'', ''b''}} znotraj {{mvar|F}}, ima eden

: <math>T(a \mathbf u + b \mathbf v)= T(a \mathbf u) + T(b \mathbf v) = aT(\mathbf u) + bT(\mathbf v) </math>

Kadar sta {{Matematična formula|1=''V'' = ''W''}} isti vektorski prostor, je linearna preslikava <math> T:V\to V </math> znan tudi kot ''linearni operator'' na {{Mvar|V}}

[[Bijektivna preslikava|Bijektivna]] linearna preslikava med dvema vektorskima prostoroma (torej je vsak vektor iz drugega prostora povezan z natanko enim v prvem) je [[izomorfizem]]. Ker izomorfizem ohranja linearno strukturo, sta dva izomorfna vektorska prostora "v bistvu enaka" z vidika linearne algebre, v smislu, da ju z lastnostmi vektorskega prostora ni mogoče razlikovati. Bistveno vprašanje linearne algebre je preizkusiti, ali je linearna preslikava izomorfizem ali ne, in če ni izomorfizem, najti njegovo sliko in niz elementov, ki se preslikajo v ničelni vektor, imenovano [[Jedro (matrika)|jedro]] preslikave. Vsa ta vprašanja je mogoče rešiti z [[Gaussova eliminacijska metoda|Gaussovo eliminacijo]] ali kakšno različico tega [[Algoritem|algoritma]].

=== Podprostori, linearna ogrinjača in baze ===
{{Glavni|linearni podprostor}} 
Proučevanje tistih podskupin vektorskih prostorov, ki so sami po sebi vektorski prostori pri induciranih operacijah, je temeljno, podobno kot pri mnogih matematičnih strukturah. Te podskupine imenujemo [[Linearni podprostor|linearni podprostori]]. Natančneje, linearni podprostor vektorskega prostora {{mvar|V}} nad poljem {{mvar|F}} je [[podmnožica]] {{mvar|W}} od {{mvar|V}}, tako da sta {{math|'''u''' + '''v'''}} in {{math|''a'''''u'''}} v {{mvar|W}} za vsak {{Math|'''u'''}}, {{Math|'''v'''}} znotraj {{mvar|W}} in vsak {{mvar|a}} znotraj {{mvar|F}}. (Ti pogoji zadoščajo, da je {{mvar|W}} vektorski prostor.)

Na primer, glede na linearno preslikavo <math> T:V\to W </math>, [[Slika (funkcija)|slika]] {{Matematična formula|''T''(''V'')}} od {{Mvar|V}} in [[inverzna slika]] {{Matematična formula|''T''<sup>−1</sup>('''0''')}} od '''0''' (imenovana [[Jedro (matrika)|jedro]] ali [[Jedro (matrika)|ničelni prostor]]) sta linearna podprostora od {{Mvar|W}} in {{Mvar|V}}

Drug pomemben način oblikovanja podprostora je obravnava [[Linearna kombinacija|linearnih kombinacij]] množice {{Mvar|S}} vektorjev: množice vseh vsot

: <math> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_k \mathbf v_k,</math>

kjer {{Matematična formula|'''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''k''</sub>}} v {{Mvar|S}} in {{Matematična formula|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>}} v {{Mvar|F}} tvorijo linearni podprostor, imenovan [[Linearna ogrinjača|ogrinjača]] {{Mvar|S}} Ogrinjača {{Mvar|S}} je tudi presečišče vseh linearnih podprostorov, ki vsebujejo {{Mvar|S}} Z drugimi besedami, to je najmanjši (za vključitveno razmerje) linearni podprostor, ki vsebuje {{Mvar|S}}

Množica vektorjev je [[Linearna neodvisnost|linearno neodvisna,]] če noben ni v ogrinjači drugih. Enako je množica {{Mvar|S}} vektorjev linearno neodvisna, če je edini način za izražanje ničelnega vektorja kot linearne kombinacije elementov {{Mvar|S}} vzemanje ničle za vsak koeficient <math>a_i.</math>

Niz vektorjev, ki obsega vektorski prostor, se imenuje [[Linearna ogrinjača|linearna]] ogrinjača ali [[Generator (matematika)|generator množic]]. Če je linearna ogrinjača {{mvar|S}} ''linearno odvisen'', potem je nek element {{Math|'''w'''}} od {{mvar|S}} v ogrinjači drugih elementov od {{mvar|S}}, in ogrinjača ostane enaka, če odstranimo {{Math|'''w'''}} iz {{mvar|S}}. Z odstranjevanjem elementov {{mvar|S}} lahko nadaljujemo, dokler ne dobimo ''linearno neodvisne linearne ogrinjače''. Taka linearno neodvisna množica, ki obsega vektorski prostor {{mvar|V}}, se imenuje [[Baza (linearna algebra)|baza]] {{math|''V''}}. Če je {{mvar|S}} linearno neodvisna množica in je {{mvar|T}} linearna ogrinjača, tako da <math>S\subseteq T,</math> potem je baza {{mvar|B}} takšna, da<math>S\subseteq B\subseteq T.</math>

Kateri koli dve bazi vektorskega prostora {{Matematična formula|''V''}} imata enako [[kardinalnost]], ki se imenuje [[Razsežnost (vektorski prostor)|dimenzija]] {{Matematična formula|''V''}}; to je dimenzijski izrek za vektorske prostore. Poleg tega sta dva vektorska prostora nad istim poljem {{Mvar|F}} [[Izomorfizem|izomorfna]] izključno takrat, ko imata enako dimenzijo.

Če ima katera koli baza {{Matematična formula|''V''}} (in zato vsaka baza) končno število elementov, je {{Matematična formula|''V''}} ''končnorazsežni vektorski prostor''. Če je {{Matematična formula|''U''}} podprostor od {{Matematična formula|''V''}}, potem je {{Matematična formula|dim ''U'' ≤ dim ''V''}} V primeru, ko je {{Matematična formula|''V''}} končnorazsežni, enakosti dimenzij implicira {{Matematična formula|1=''U'' = ''V''}}

Če sta ''U''<sub>1</sub> in ''U''<sub>2</sub> podprostora od ''V'', potem

: <math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2),</math>

== Matrike ==
{{Glavni|Matrika}} 
Matrike omogočajo eksplicitno manipulacijo s končnorazsežnimi vektorskimi prostori in [[Linearna transformacija|linearnimi transformacijami]]. Njihova teorija je tako bistven del linearne algebre.

Naj bo {{Mvar|V}} končnrazsežnini vektorski prostor nad poljem {{Matematična formula|''F''}} , in {{Matematična formula|('''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''m''</sub>)}} je baza {{Matematična formula|''V''}} (torej je {{Mvar|m}} dimenzija {{Matematična formula|''V''}}). Po definiciji baze je transformacija

: <math>\begin{align}
(a_1, \ldots, a_m)&\mapsto a_1 \mathbf v_1+\cdots a_m \mathbf v_m\\
F^m &\to V
\end{align}</math>

je [[Bijektivna preslikava|bijekcija]] iz <math>F^m,</math> množica [[Zaporedje|zaporedij]] {{Mvar|m}} elementov od {{Mvar|F}} na {{Mvar|V}} To je [[izomorfizem]] vektorskih prostorov, če ima <math>F^m</math> svojo standardno strukturo vektorskega prostora, kjer se vektorsko seštevanje in skalarno množenje izvajata po komponentah.

Ta izomorfizem omogoča predstavljanje vektorja z njegovo [[Inverzna slika|inverzno podobo]] pod tem izomorfizmom, to je s koordinatami vektorjev <math>(a_1, \ldots, a_m)</math> ali po [[Matrika#Definicije in zapisi|stolpcu matrike]].

: <math>\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}.</math>

Če je {{Mvar|W}} še en končnorazsežni vektorski prostor (po možnosti enak) z bazo <math>(\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n),</math> linearno transformacijo {{Mvar|f}} od {{Mvar|W}} do {{Mvar|V}} je dobro opredeljen z vrednostmi na baznih elementih, tj <math>(f(\mathbf w_1), \ldots, f(\mathbf w_n)).</math> Tako je {{Mvar|f}} dobro predstavljen s seznamom ustreznih stolpcev matrike. Se pravi, če

: <math>f(w_j)=a_{1,j}v_1 + \cdots+a_{m,j}v_m,</math>

za {{Matematična formula|1=''j'' = 1, ..., ''n''}}, potem je {{Mvar|f}} predstavljeno z matriko

: <math>\begin{bmatrix}
a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}
\end{bmatrix},</math>

z {{Mvar|m}} vrsticami in {{Mvar|n}} stolpci.

== Linearni sistemi ==
{{Glavni|Sistem linearnih enačb}} 
Končna množica linearnih enačb v končni množici spremenljivk, na primer: <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> ali <math>x, y, \ldots, z</math> se imenuje '''sistem linearnih enačb''' ali '''linearni sistem'''.<ref>{{Harvard citation text|Anton|1987|p=2}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Beauregard|Fraleigh|1973|p=65}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Burden|Faires|1993|p=324}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Golub|Van Loan|1996|p=87}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Harper|1976|p=57}}</ref>

Sistemi linearnih enačb so temeljni del linearne algebre. V preteklosti so se za reševanje takih sistemov uporabljale linearna algebra in teorija matrik. V sodobni predstavitvi linearne algebre s pomočjo vektorskih prostorov in matrik je mogoče številne probleme razložiti z linearnimi sistemi.

Na primer, naj bo{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 8  \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S}}}}{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 8  \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S}}}}linearni sistem.

Takšnemu sistemu se lahko poveže njegova matrika

: <math>M = \left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -1\\
-3 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right].
</math>

in njegov desni vektor

: <math>\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix}. </math>

Naj bo {{Mvar|T}} linearna transformacija povezana z matriko {{Mvar|M}} Rešitev sistema ({{EquationNote|S}}) je vektor

: <math>\mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}</math>

tako, da je

: <math>T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},</math>

ki je element [[predslika]] od v z {{Mvar|T}}

Naj bo ({{EquationNote|S'}}) pridruženi [[Sistem linearnih enačb|homogeni sistem]], kjer so desne strani enačb postavljene na nič:{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 0  \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& 0 
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S'}}}}{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 0  \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& 0 
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S'}}}}Rešitve ({{EquationNote|S'}}) so elementi [[Jedro (matrika)|jedra]] {{Mvar|T}} ali, enako, {{Mvar|M}}

[[Gaussova eliminacijska metoda|Gaussova eleminacija]] je sestavljena iz izvajanja [[Elementarna matrika|elementarnih vrstičnih operacij]] na [[Razširjena matrika|razširjeni matriki]]

: <math>\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -1&8\\
-3 & -1 & 2&-11 \\
-2 & 1 & 2&-3
\end{array}\right]
</math>

za postavitev v [[Vrstična kanonična forma|vrstični kanonični formi]]. Te vrstične operacije ne spremenijo nabora rešitev sistema enačb. V zgledu, vrstična kanonična forma

: <math>\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0&2\\
0 & 1 & 0&3 \\
0 & 0 & 1&-1
\end{array}\right],
</math>

prikazuje, da ima sistem ({{EquationNote|S'}}) eno rešitev

: <math>\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}</math>

Iz te matrične interpretacije linearnih sistemov izhaja, da se iste metode lahko uporabijo za reševanje linearnih sistemov in za številne operacije na matrikah in linearnih transformacijah, ki vključujejo izračun [[Rang (linearna algebra)|rangov]], [[Jedro (matrika)|jeder]], [[Obrnljiva matrika|obrnljive matrike]].

== Glej tudi ==
* [[Linearna ogrinjača]]
* [[Linearna regresija]], statistična metoda ocenjevanja
* [[Numerična linearna algebra]]
* [[Linearno programiranje]]
* [[Matrika preslikave]]

== Opombe ==
{{Notelist}} 

== Sklici ==
{{Sklici}}

== Viri ==
{{Refbegin}}
* {{ citation | last1 = Anton | first1 = Howard | year = 1987 | isbn = 0-471-84819-0 | title = Elementary Linear Algebra | edition = 5th | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York }}
*{{Citation|last=Axler|first=Sheldon|title=Linear Algebra Done Right|volume=|pages=|publication-date=2015|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|date=18 December 2014|edition=3.|publisher=[[Springer Publishing]]|isbn=978-3-319-11079-0|author-link=Sheldon Axler}}
* {{citation | last1 = Beauregard | first1 = Raymond A. | last2 = Fraleigh | first2 = John B. | title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields | location = Boston | publisher = [[Houghton Mifflin Company]] | year = 1973 | isbn = 0-395-14017-X | url-access = registration | url = https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau }}
* {{citation | last1 = Burden | first1 = Richard L. | last2 = Faires | first2 = J. Douglas | year = 1993 | isbn = 0-534-93219-3 | title = Numerical Analysis | edition = 5th | publisher = [[Prindle, Weber and Schmidt]] | location = Boston | url-access = registration | url = https://archive.org/details/numericalanalysi00burd }}
* {{ citation | last1 = Golub | first1 = Gene H. | last2 = Van Loan | first2 = Charles F. | year = 1996 | isbn = 978-0-8018-5414-9 | title = Matrix Computations | edition=3. |series=Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences | publisher = [[Johns Hopkins University Press]] | location = Baltimore }}
*{{citation|last=Halmos|first=Paul Richard|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|url=https://www.worldcat.org/title/finite-dimensional-vector-spaces/oclc/1251216|volume=|pages=|year=1974|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=1958 2nd|publisher=[[Springer Publishing]]|isbn=0-387-90093-4|oclc=1251216|author-link=Paul Halmos}}
* {{ citation | last1 = Harper | first1 = Charlie | year = 1976 | isbn = 0-13-487538-9 | title = Introduction to Mathematical Physics | publisher = [[Prentice-Hall]] | location = New Jersey }}
*{{Citation|last1=Katznelson|first1=Yitzhak|title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra|volume=|pages=|publication-date=2008|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-4419-9|last2=Katznelson|first2=Yonatan R.|year=2008|author-link=Yitzhak Katznelson}}
* {{Citation|last=Roman|first=Steven|date=March 22, 2005|volume=|pages=|title=Advanced Linear Algebra |edition=2. |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |publisher=Springer |isbn=978-0-387-24766-3|author-link=Steven Roman}}
{{Refend}}

== Zunanje povezave ==
{{Commons category}}

=== Spletni viri ===
* [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ Video predavanja linearne algebre MIT], serija 34 posnetih predavanj profesorja Gilberta Stranga (pomlad 2010)
* [https://www.math.technion.ac.il/iic/ Mednarodno društvo linearne algebre]
* {{SpringerEOM|title=Linear algebra|id=p/l059040}}
* [https://mathworld.wolfram.com/topics/LinearAlgebra.html Linearna algebra] na [[MathWorld]]
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matrix and Linear Algebra Terms] on [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]
* [http://jeff560.tripod.com/matrices.html Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors] on [http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Earliest Uses of Various Mathematical Symbols]
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab Bistvo linearne algebre], video predstavitev [[3 modra1 rjava|3Blue1Brown]] o osnovah linearne algebre s poudarkom na razmerju med geometrijskim, matričnim in abstraktnim stališčem

=== Spletne knjige ===
* {{navedi knjigo|last1=Margalit|first1=Dan|last2=Rabinoff|first2=Joseph|title=Interactive Linear Algebra|date=2019|url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/|publisher=Self-published|location=[[Georgia Institute of Technology]], [[Atlanta, Georgia]]|lang=en}}
* {{navedi knjigo|last=Beezer|first=Robert A.|title=A First Course in Linear Algebra|date=2009|date=2004|url=http://linear.ups.edu|publisher=[[University Press of Florida]]|location=[[Gainesville, Florida]]|isbn=9781616100049|lang=en}}<bdi><cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFBeezer2009">[[Special:BookSources/9781616100049|9781616100049]]</cite></bdi> 
* {{navedi knjigo|last=Connell|first=Edwin H.|title=Elements of Abstract and Linear Algebra|date=2004|date=1999|url=https://www.math.miami.edu/~ec/book/|publisher=Self-published|location=[[University of Miami]], [[Coral Gables, Florida]]|lang=en}}
*  {{Hefferon Linear Algebra}} 
* {{navedi knjigo|last=Matthews|first=Keith R.|url=http://www.numbertheory.org/book/|title=Elementary Linear Algebra|date=2013|date=1991|publisher=Self-published|location=[[University of Queensland]], [[Brisbane, Australia]]|lang=en}}
* {{navedi knjigo|last=Mikaelian|first=Vahagn H.|url=https://www.researchgate.net/publication/318066716|title=Linear Algebra: Theory and Algorithms|date=2020|date=2017|publisher=Self-published|publication-place=<!--(unclear whether the "publication place" is [[Yerevan State University]] (where the Web page says the author works) or [[American University of Armenia]] (which is presumably the "AUA" the description at the Web page says the book is based on a course at which)),--> [[Yerevan, Armenia]]|lang=en|via=[[ResearchGate]]}}
* Sharipov, Ruslan, ''[[arxiv:math.HO/0405323|Tečaj linearne algebre in večdimenzionalne geometrije]]''
* Treil, Sergei, ''[https://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html Linear Algebra Done Wrong]''

{{Linearna algebra}}
{{Prostor}}
{{Normativna kontrola}}
[[Kategorija:Numerična analiza]]
[[Kategorija:Linearna algebra|*]]
[[Kategorija:Algebra]]
[[Kategorija:Strani z nepregledanimi prevodi]]