Ogled vira Mala in velika polos


[[Slika:Ellipse_semi-major_and_minor_axes.svg|sličica|Velika (''a'') in mala polos (''b'') elipse]]
V [[Geometrija|geometriji]] je velika os [[Elipsa|elipse]] njen največji [[premer]]: [[daljica]], ki poteka skozi središče in obe [[Gorišče|gorišči]] s koncema na najširšima deloma [[Obseg|roba]]. 

'''Velika polos''' je ena polovica večje osi, in torej teče od središča, skozi [[gorišče]] in do roba. '''Mala polos''' elipse ali hiperbola je daljica, ki je [[Pravi kot|pravokotna]] na veliko polos in ima en konec na središču stožnice. Za posebni primer, krog, sta obe polosi enako dolgi, to je [[polmer]] kroga.

Dolžina velike polosi {{mvar|a}} elipse je povezana z dolžino male polosi {{mvar|b}}, [[Izsrednost|ekscentičnostjo]] {{mvar|e}} in [[Stožnica|pol-latus rectum]] <math>\ell</math>, kot sledi:

: <math>\begin{align}
 b &= a \sqrt{1-e^2}, \\
 \ell &= a\left(1-e^2\right),\, \\
 a\ell &= b^2.
\end{align}</math>

Velika polos [[Hiperbola|hiperbole]] je, odvisno od dogovora, plus ali minus ene polovice razdalje med obema vejama. Torej je to razdalja od središča do enega od [[Teme|temen]] hiperbole.

[[Parabola]] se lahko izrazi kot limito sekvence elips, kjer je eno gorišče stalno, drugo pa se lahko odmika v eno smer, a ohrani <math>\ell</math> stalen. Torej {{mvar|a}} in {{mvar|b}} silita k neskončnosti, {{mvar|a}} hitreje kot {{mvar|b}}.

Velika in mala os sta [[Rotacijska simetrija|osi simetrije]] krivulje: v elipse je mala os krajša; v hiperboli je takšna, ki krivulje ne seka.

== Elipsa ==
Enačba za elipso je:

: <math>\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} + \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1.</math>

Kjer je (h,k) središče elipse v [[Koordinatni sistem|kartezičnih koordinatah]], v katerih je določena točka podana z (x,y).

Velika polos je srednja vrednost maksimalne in minimalne razdalje <math>r_{\max}</math> in <math>r_{\min}</math> elipse od gorišča — torej razdalji od gorišča do končnih točk na nasprotnih smereh.{{cn|date=August 2019}}  
V astronomiji se te ekstremne točke imenujejo [[Apsidna točka|apside]].<ref name="lissauer2019">{{Navedi knjigo|title=Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability|last=Lissauer|first=Jack J.|last2=de Pater|first2=Imke|year=2019|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781108411981|location=New York, NY, USA|pages=24–31}}</ref>

: <math> a = \frac{r_{\max}+r_{\min}}{2}.</math>

Mala polos elipse je [[geometrična sredina]] teh razdalj:

: <math> b = \sqrt{r_{\max} r_{\min}}.</math>

[[Izsrednost|Ekscentričnost]] elipse je definirana z

: <math>e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math> so <math> r_{\min} = a (1-e), r_{\max} = a (1+e)</math>.

Sedaj oblikujmo enačbo v [[Polarni koordinatni sistem|polarnih koordinatah]] z enim goriščem na izhodišču ter drugim na smeri <math>(\theta = \pi)-</math>,

: <math>r(1+e\cos\theta)=\ell.\,</math>

Srednja vrednost od <math> r = \ell / (1 - e) </math> in <math> r = \ell / (1 + e) </math> za <math> \theta = \pi </math> in <math> \theta = 0 </math> je

: <math>a={\ell\over 1-e^2}.\,</math>

V elipsi je velika polos [[geometrična sredina]] razdalje od središča do kateregakoli izmed gorišč in razdalje od središča do ene izmed direktriks.

Mala polos elipse teče od središča elipse (točka na sredini črte med [[Gorišče|goriščema]]) do roba elipse. Mala polos je polovica male osi. Mala os je najdaljša daljica, ki je pravokotna na veliko polos, ki povezuje nasprotna pola elipse.

Mala polos {{Mvar|b}} je z veliko polosjo {{Mvar|a}}, ekscentričnostjo {{Mvar|e}} in [[Stožnica|pol-latus rectum]] <math>\ell</math> povezana tako:

: <math>\begin{align} b &= a \sqrt{1-e^2}\,\! \\ 
a\ell &= b^2.\,\! \end{align}</math>

[[Parabola]] se lahko izrazi kot limito serije elips, kjer je eno gorišče stalno, drugo pa se lahko odmika v eno smer, a ohrani <math>\ell</math> stalen. Torej {{mvar|a}} in {{mvar|b}} silita k neskončnosti, {{mvar|a}} hitreje kot {{mvar|b}}.

Dolžina male polosi se lahko odkrije tudi z uporabo formule,<ref>http://www.mathopenref.com/ellipseaxes.html,"Major{{Slepa povezava|date=May 2018}} / Minor axis of an ellipse",Math Open Reference, 12 May 2013</ref>

: <math> 2b = \sqrt{(p+q)^2 -f^2} </math>

kjer je {{Mvar|f}} razdalja med goriščema, {{Mvar|p}} in {{Mvar|q}} pa sta razdalji od vsakega gorišča do katerekoli točke v elipsi.

== Hiperbola ==
Velika polos [[Hiperbola|hiperbole]] je, odvisno od dogovora, plus ali minus ena polovica razdalje med obema temenoma; če je to {{Mvar|a}} v smeri x, potem je enačba:

: <math>\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1.</math>

Mala in velika polos sta skozi ekscentričnost povezani, kot sledi:

: <math>b = a \sqrt{e^2-1}.</math><ref>{{Navedi splet|url=http://www.bogan.ca/orbits/geometry.html|title=The Geometry of Orbits: Ellipses, Parabolas, and Hyperbolas|website=www.bogan.ca}}</ref>

V hiperboli je lahko {{Mvar|b}} tudi večji od {{Mvar|a}}.
[http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html]

== Astronomija ==

=== Orbitalna perioda ===
V [[Astrodinamika|astrodinamiki]] je [[orbitalna perioda]] {{Mvar|T}} malega telesa, ki kroži okoli središčnega telesa v krožni ali eliptični orbiti enaka:<ref name="lissauer2019">{{Navedi knjigo|title=Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability|last=Lissauer|first=Jack J.|last2=de Pater|first2=Imke|year=2019|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781108411981|location=New York, NY, USA|pages=24–31}}</ref>

: <math>T = 2\pi\sqrt{a^3 \over \mu}</math>

kjer:

: {{Mvar|a}} je dolžina velike polosi orbite
: <math>\mu</math> je [[standardni gravitacijski parameter]] središčnega telesa

Velja omeniti, da je za vse elipse z enako veliko polosjo orbitalna perioda enaka, ne glede na njihovo ekscentričnost.

[[Specifična relativna vrtilna količina|Specifična vrtilna količina]] {{Mvar|h}} malega telesa, ki kroži okoli središčnega telesa v krožni ali eliptični orbiti je:<ref name="lissauer2019">{{Navedi knjigo|title=Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability|last=Lissauer|first=Jack J.|last2=de Pater|first2=Imke|year=2019|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781108411981|location=New York, NY, USA|pages=24–31}}</ref>

: <math>h = \sqrt{a\mu\left(1 -e^2\right)}</math>

kjer:

: {{Mvar|a}} in <math>\mu</math> sta definirana zgoraj
: {{Mvar|e}} je ekscentričnost orbite

V [[Astronomija|astronomiji]] je velika polos eden izmed najpomembnejših [[Elementi tira|orbitalnih elementov]] [[Tir|tirnice]], skupaj z [[Orbitalna perioda|orbitalno periodo]]. Za telesa v [[Osončje|Osončju]] je velika polos povezana s periodo po [[Keplerjevi zakoni|Keplerjevem tretjem zakonu]] (originalno [[Empirična metoda|empirično]] izpeljanem),<ref name="lissauer2019">{{Navedi knjigo|title=Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability|last=Lissauer|first=Jack J.|last2=de Pater|first2=Imke|year=2019|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781108411981|location=New York, NY, USA|pages=24–31}}</ref>

: <math>T^2 \propto a^3 \,</math>

kjer je {{Mvar|T}} perioda in {{Mvar|a}} je velika polos. Izkaže se, da je izrek le poenostavitev splošnega [[Problem dveh teles|problema dveh teles]], kot je to določil [[Isaac Newton|Newton]]:<ref name="lissauer2019">{{Navedi knjigo|title=Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability|last=Lissauer|first=Jack J.|last2=de Pater|first2=Imke|year=2019|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781108411981|location=New York, NY, USA|pages=24–31}}</ref>

: <math>T^2= \frac{4\pi^2}{G(M + m)}a^3\,</math>

kjer je {{Mvar|G}} [[gravitacijska konstanta]], {{Mvar|M}} je [[masa]] središčnega telesa in {{Mvar|m}} je masa krožečega telesa. Po navadi je masa središčnega telesa tolikokrat večja od manjšega, da {{Mvar|m}} zanemarimo. Če uporabimo ta sklep in običajne astronomske enote, odkrijemo zakon, ki ga je prej že empirično odkril Kepler.

Pot krožečega telesa okoli [[Masno središče|baricentra]] in njegova pot, relativna na primarno gorišče, sta elipsi.<ref name="lissauer2019">{{Navedi knjigo|title=Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability|last=Lissauer|first=Jack J.|last2=de Pater|first2=Imke|year=2019|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781108411981|location=New York, NY, USA|pages=24–31}}</ref> Velika polos se v astronomiji pogosto definira kot razdalja med obema telesoma, saj je navadno razmerje mas primarnega proti sekundarnemu telesu zelo veliko (<math>M \gg m</math>); iz tega sledi, da se orbitalni parametri pogosto podajajo v heliocentričnih koordinatah. Razlika med primocentričnimi in "absolutnimi" orbitami se lahko najbolje ilustrira s sistemom Zemlja-Luna. Masno razmerje je v tem primeru {{Val|81,30059}}. Karakteristična razdalja Zemlja-Luna, velika polos ''geocentrične'' lunarne orbite, je 384.400&nbsp;km. (Ob podatku ekscentričnosti lunine orbite e = 0,0549 dobimo za malo polos dolžino 383.800 km. Torej je Lunina orbita skoraj krožna.) ''Baricentrična'' lunarna orbita pa ima za razliko od prve, veliko polos enako 379.730&nbsp;km zaradi obratne orbite Zemlje se odšteje razlika 4.670&nbsp;km. Lunina povprečna baricentrična orbitalna hitrost je 1,010&nbsp;km/s, medtem ko je Zemljina enaka 0,012&nbsp;km/s. Seštevek obeh hitrosti nam poda povprečno lunino orbitalno hitrost 1,022 km/s; enaka vrednost se lahko dobi tudi z upoštevanjem le geocentrične vrednosti velike polosi.

=== Povprečna razdalja ===
Pogosto se reče, da velika polos ni "povprečna" razdalja med primarnim goriščem elipse in krožečim telesom. To pa ni popolnoma pravilno, saj je to odvisno od tega, kaj mislimo, da je povprečno.

* povprečje nad [[Ekscentrična anomalija|ekscentrično anomalijo]] seveda sledi v veliko polos.
* povprečje nad [[Prava anomalija|pravo anomalijo]] (pravi orbitalni kot, merjen od gorišča) vodi v malo polos <math>b = a \sqrt{1 - e^2}</math>.
* povprečje nad [[Srednja anomalija|srednjo anomalijo]] (delež orbitalne periode, ki je minila od pericentra, izražena kot kot), končno, poda časovno-povprečni <math>a \left(1 + \frac{e^2}{2}\right).\,</math>

Časovno-povprečna vrednost recipročne vrednosti polmera <math>r^{-1}</math> je <math>a^{-1}</math>.

=== Energija; izračun velike polosi iz položajnih vektorjev ===
V [[Astrodinamika|astrodinamiki]] se lahko velika polos {{Mvar|a}} izračuna iz [[Orbitalni položajni vektorji|orbitalnih položajnih vektorjev]]:

: <math> a = -{\mu \over {2\varepsilon}}\,</math>

za [[Eliptična tirnica|eliptično orbito]] ali, odvisno od dogovora, je

: <math> a = {\mu \over {2\varepsilon}}\,</math>

za [[Hiperbolična tirnica|hiperbolično tirnico]]

in

: <math> \varepsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} </math>

([[specifična orbitalna energija]])

in

: <math> \mu = GM  \,</math>

([[standardni gravitacijski parameter]]), kjer:

* {{Mvar|v}} je orbitalna hitrost iz [[Orbitalni položajni vektor#Hitrostni vektor|hitrostnega vektorja]] krožečega telesa,
* {{Mvar|'''r'''}} je [[Kartezični koordinatni sistem|kartezični]] [[Orbital state vectors#Position vector|položajni vektor]] krožečega telesa v koordinatah [[Opazovalni sistem|opazovalnega sistema]] glede na katere elemente v orbiti mora izračunati (tj. geocentrični ekvatorialni za orbito okoli Zemlje, ali heliocentrične ekliptične za orbito okoli Sonca),
* {{Mvar|G}} je [[gravitacijska konstanta]],
* {{Mvar|M}} je masa gravitacijskega telesa in
* <math>\varepsilon</math> je specifična energija krožečega telesa.

Omenimo še, da za dano vrednost mase, sta specifična energija in velika polos vedno enaki, ne glede na ekscentričnost ali na razmerje mas. Obratno, za podano skupno maso in veliko polos, je skupna [[specifična orbitalna energija]] vedno enaka. Ta izjava bo vedno držala, ne glede na katerekoli pogoje.

=== Velike in male polosi planetov ===
{| class="wikitable sortable" style="margin: 1em auto; text-align: center;"
! class="unsortable" |Ime
![[Izsrednost tira|Eksentričnost]]
!Velika polos a ([[Astronomska enota|AU]]<nowiki>)|</nowiki>
!Mala polos b ([[Astronomska enota|AU]])
!razlika (%)
![[Apsidna točka|Perihelij]] ([[Astronomska enota|AU]])
![[Apsidna točka|Afelij]] ([[Astronomska enota|AU]])
!razlika (%)
|-
| align="left" |[[Merkur]]
|0,206
|0,38700
|0,37870
|2,2
|0,307
|0,467
|52
|-
| align="left" |[[Venera]]
|0,007
|0,72300
|0,72298
|0,002
|0,718
|0,728
|1,4
|-
| align="left" |[[Zemlja]]
|0,017
|1,00000
|0,99986
|0,014
|0,983
|1,017
|3,5
|-
| align="left" |[[Mars]]
|0,093
|1,52400
|1,51740
|0,44
|1,382
|1,666
|21
|-
| align="left" |[[Jupiter]]
|0,049
|5,20440
|5,19820
|0,12
|4,950
|5,459
|10
|-
| align="left" |[[Saturn]]
|0,057
|9,58260
|9,56730
|0,16
|9,041
|10,124
|12
|-
| align="left" |[[Uran (planet)|Uran]]
|0,046
|19,21840
|19,19770
|0,11
|18,330
|20,110
|9,7
|-
| align="left" |[[Neptun]]
|0,010
|30,11000
|30,10870
|0,004
|29,820
|30,400
|1,9
|}

== Glej tudi ==

* [[Pol-premer]]

== Viri ==
{{Sklici}}

== Zunanje povezave ==

* [http://www.mathopenref.com/ellipsesemiaxes.html Velika in mala polos elipse] Z interaktivno animacijo
[[Kategorija:Orbite]]