Ogled vira Norma (matematika)

'''Norma''' (oznaka <math> ||\overrightarrow a || \,</math> za vektor <math> \overrightarrow  a \,</math>) je v [[matematika|matematiki]] funkcija, ki vsakemu neničelnemu [[vektor]]ju v [[vektorski prostor|vektorskem prostoru]] pripiše pozitivno dolžino. Norma se imenuje '''seminorma''', če pripiše dolžino 0 tudi neničelnim vektorjem. Norma posplošuje pojem dolžine vektorja.

Če sta <math> A \,</math> in <math> B \,</math> dve točki v ravnini, je norma vektorja <math> \overrightarrow{AB} \,</math> razdalja med točkama <math> A \,</math> in <math> B \,</math> ali  
<math>\overrightarrow{AB}</math>, kar zapišemo kot <math> || \overrightarrow{AB} || \,</math>.

==Definicija ==
=== Norma vektorja ===
Za dani vektorski prostor <math> V \,</math>  nad [[podobseg]]om <math> F \,</math> [[kompleksno število|kompleksnih števil]] je norma funkcija <math>p\colon V \to \mathbb{R}</math>, ki zadošča naslednjim pogojem
:# <math>\forall x \in V, p(x)\geqslant 0 \,</math>
:# <math>p(x)=0 \Rightarrow x=0_V \,</math>
:# <math>\forall (x,y) \in V^2, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y) \,</math>  
:# <math>\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x) \,</math>.

Če ima vektorski prostor normo, se prostor imenuje [[normirani vektorski prostor]].

Normo elementa <math> x \,</math> iz vektorskega prostora <math> \mathbb{R}\,</math> označujemo z <math> ||x|| \,</math>. 

Če ima vektor <math> x \,</math> normo enako 1 (<math> ||x|| = 1 \,</math>), ga imenujemo normalni ali normirani vektor.

Poljuben neničelni vektor <math> x \,</math> lahko normiramo, če ga delimo z njegovo normo. Tako ima vektor <math>  \,</math>
<math>\frac{x}{\| x\|}</math> normo, ki je enaka 1.

== Lastnosti norme ==
# <math> \mid \| x \| - \| y \| \mid \le \| x \pm y \| \le \| x\| + \| y \| </math>
# <math> (\| x \| - \| y \|)^2 \le \| x+y \|^2 \le (\| x \| + \|y \|)^2 </math>
# <math> \frac {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2}{2\|x\|\|y\|}\in [-1,1] </math> 
# <math> \|0_V\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot\|x\|=0 </math>
# <math> 0=\|x-x\|\leqslant\|x\|+\|-x\|=2\|x\| \Rightarrow \|x\|\geqslant0</math>. 

== Primeri ==

=== Evklidska norma ===
{{glavni|Evklidska razdalja}}
V n-razsežnem [[Evklidski prostor|Evklidskem prostoru]] <math> R^n \,</math> je dolžina vektorja <math> \vec x = [x_1, x_2, \dots, x_n] \,</math> določena z 
: <math>\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} \,</math>

To daje običajno razdaljo od izhodišča do točke <math> x \,</math>, kar nam da tudi [[Pitagorov izrek]]. Evklidska norma je najbolj pogosto uporabljena norma, čeprav uporabljamo še več norm.

V prostoru <math> C^n \,</math> je najblj pogosto uporabljana norma 
:<math>\|\boldsymbol{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}= \sqrt{z_1 \bar z_1 + \cdots + z_n \bar z_n}.</math>.
Vedno pa lahko normo zapišemo kot [[kvadratni koren]] iz [[notranji produkt|notranjega produkta]]
: <math>\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{x}}.</math>.

Evklidsko normo imenujemo tudi Evklidska dolžina. Množica vrhov vektorjev, ki imajo konstantno dolžino, pa tvori površino n-razsežnostne [[krogla|krogle]] (hipersfera), pri tem pa je n razsežnost Evklidskaga prostora.

=== P norma ===
Posebna skupina norm je p-norma, ki je za <math> p \ge 1 \,</math> enaka
: <math>\|\mathbf{x}\|_p := \bigg( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \bigg)^{1/p} \,</math>.

Če je <math> p = 2 \,</math>, dobimo [[evklidska norma|Evklidsko normo]], ki se izračuna kot 
: <math>\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} \,</math>.
To normo imenujemo tudi druga norma.

Če je <math> p = 1 \,</math>, dobimo normo z uporabo [[geometrija taksijev|geometrije taksijev]]. To razdaljo imenujemo tudi [[Manhattanska razdalja]].
To vrsto norme imenujemo tudi prva norma.

To lahko razširimo tudi na vrednost <math> p = \infty \,</math>, kar nam da
:<math>\ \|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\}\,</math>
To je limita p-norm za končni p. Norma <math> L^{\infty} \,</math> je znana tudi kot uniformna norma ali [[razdalja Čebiševa]] (tudi neskončna norma). 

Za <math> p = \infty \,</math> dobimo neskončno normo ali normo maksimuma. Množica vektorjev norme maksimuma, ki imajo konstantno vrednost <math> c \,</math>, tvori [[hiperkocka|hiperkocko]] 
z robovi dolžine <math> 2c \,</math>

== Zunanje povezave ==
* [http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Norm Definicija norme na ProofWiki] {{ikona en}}

[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Vektorski račun]]
[[Kategorija:Norme (matematika)|*]]