Norma (matematika)

Norma (oznaka $||\overrightarrow{a}||$ za vektor $\overrightarrow{a}$) je v matematiki funkcija, ki vsakemu neničelnemu vektorju v vektorskem prostoru pripiše pozitivno dolžino. Norma se imenuje seminorma, če pripiše dolžino 0 tudi neničelnim vektorjem. Norma posplošuje pojem dolžine vektorja.

Če sta $A$ in $B$ dve točki v ravnini, je norma vektorja $\overrightarrow{AB}$ razdalja med točkama $A$ in $B$ ali $\overrightarrow{AB}$, kar zapišemo kot $||\overrightarrow{AB}||$.

Definicija

Norma vektorja

Za dani vektorski prostor $V$ nad podobsegom $F$ kompleksnih števil je norma funkcija $p:V\to ℝ$, ki zadošča naslednjim pogojem

1. $\mathrm{\forall }x\in V,p(x)⩾0$
2. $p(x)=0\Rightarrow x=0_V$
3. $\mathrm{\forall }(x,y)\in V^2,p(x+y)⩽p(x)+p(y)$
4. $\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ,\mathrm{\forall }x\in V,p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$.

Če ima vektorski prostor normo, se prostor imenuje normirani vektorski prostor.

Normo elementa $x$ iz vektorskega prostora $ℝ$ označujemo z $||x||$.

Če ima vektor $x$ normo enako 1 ($||x||=1$), ga imenujemo normalni ali normirani vektor.

Poljuben neničelni vektor $x$ lahko normiramo, če ga delimo z njegovo normo. Tako ima vektor $$ $\frac{x}{\Vert x\Vert }$ normo, ki je enaka 1.

Lastnosti norme

1. $\mid \Vert x\Vert -\Vert y\Vert \mid \le \Vert x\pm y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$
2. $(\Vert x\Vert -\Vert y\Vert {)}^2\le \Vert x+y{\Vert }^2\le (\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2$
3. $\frac{\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{2\Vert x\Vert \Vert y\Vert }\in [-1,1]$
4. $\Vert 0_V\Vert =\Vert x-x\Vert =\Vert 0x\Vert =0\cdot \Vert x\Vert =0$
5. $0=\Vert x-x\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert -x\Vert =2\Vert x\Vert \Rightarrow \Vert x\Vert ⩾0$.

Primeri

Evklidska norma

Predloga:Glavni V n-razsežnem Evklidskem prostoru $R^n$ je dolžina vektorja $\overrightarrow{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n]$ določena z

$\Vert 𝒙\Vert :=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$

To daje običajno razdaljo od izhodišča do točke $x$, kar nam da tudi Pitagorov izrek. Evklidska norma je najbolj pogosto uporabljena norma, čeprav uporabljamo še več norm.

V prostoru $C^n$ je najblj pogosto uporabljana norma

$\Vert 𝒛\Vert :=\sqrt{|z_1{|}^2+\cdots +|z_n{|}^2}=\sqrt{z_1{\overline{z}}_1+\cdots +z_n{\overline{z}}_n}.$.

Vedno pa lahko normo zapišemo kot kvadratni koren iz notranjega produkta

$\Vert 𝒙\Vert :=\sqrt{{𝒙}^T𝒙}.$.

Evklidsko normo imenujemo tudi Evklidska dolžina. Množica vrhov vektorjev, ki imajo konstantno dolžino, pa tvori površino n-razsežnostne krogle (hipersfera), pri tem pa je n razsežnost Evklidskaga prostora.

P norma

Posebna skupina norm je p-norma, ki je za $p\ge 1$ enaka

$\Vert 𝐱{\Vert }_p:=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}$.

Če je $p=2$, dobimo Evklidsko normo, ki se izračuna kot

$\Vert 𝒙\Vert :=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$.

To normo imenujemo tudi druga norma.

Če je $p=1$, dobimo normo z uporabo geometrije taksijev. To razdaljo imenujemo tudi Manhattanska razdalja. To vrsto norme imenujemo tudi prva norma.

To lahko razširimo tudi na vrednost $p=\mathrm{\infty }$, kar nam da

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max \{|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|\}$

To je limita p-norm za končni p. Norma $L^{\mathrm{\infty }}$ je znana tudi kot uniformna norma ali razdalja Čebiševa (tudi neskončna norma).

Za $p=\mathrm{\infty }$ dobimo neskončno normo ali normo maksimuma. Množica vektorjev norme maksimuma, ki imajo konstantno vrednost $c$, tvori hiperkocko z robovi dolžine $2c$

Zunanje povezave

• Definicija norme na ProofWiki Predloga:Ikona en