Ogled vira Odvod kompozituma

{{Infinitezimalni račun|Diferencial}}
V [[Infinitezimalni račun|infinitezimalnem računu]], je '''odvod kompozituma''' (tudi '''verižno pravilo''') [[formula]] za izračun [[Odvod|odvoda]] [[Kompozitum funkcij|kompozituma]] [[Funkcija|funkcij]]. Če sta {{Mvar|f}} in {{Mvar|g}} [[Odvedljiva funkcija|odvedljivi funkciji]], potem pravilo kompozituma izraža odvod njunega kompozituma {{Matematična formula|''f'' {{large|∘}} ''g''}} — funkcije, ki preslika ''{{Mvar|x}}'' v <math>f(g(x))</math>— pravilo se glede na odvode funkcij ''{{Mvar|f}}'' in ''{{Mvar|g}}'' ter [[Produkt funkcij|produktov funkcij]] izrazi:

: <math>(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.</math>

Če je {{Matematična formula|1=''F'' = ''f'' {{large|∘}} ''g''}} (enako {{Matematična formula|1=''F''(''x'') = ''f''(''g''(''x''))}} za vse ''{{Mvar|x}}''), potem lahko odvod kompozituma zapišemo v [[Zapis za odvajanje|Lagrangeevi notaciji]], kot sledi:

: <math>F'(x) = f'(g(x)) g'(x).</math>

Verižno pravilo se lahko prepiše tudi v [[Leibnizova notacija|Leibnizovi notaciji]], kot sledi. Če je spremenljivka ''{{Mvar|z}}'' odvisna od ''{{Mvar|y}}'', ki je odvisna od ''{{Mvar|x}}'' (torej sta si ''{{Mvar|y}}'' in ''{{Mvar|z}}'' med seboj [[Odvisni spremenljivki|odvisni]]), potem je ''{{Mvar|z}}'', preko vmesne spremenljivke ''{{Mvar|y}}'', odvisna tudi od ''{{Mvar|x}}''. V tem primeru nam pravilo kompozituma pravi:

: <math>\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}. </math>

Z označevanjem vsake spremenljivke, ki jo odvajamo, dobimo <math> \left.\frac{dz}{dx}\right|_{x} = \left.\frac{dz}{dy}\right|_{y(x)}
\cdot \left. \frac{dy}{dx}\right|_{x} </math>.

Obe verziji pravila kompozituma v Lagrangeevem in Leibnizovem zapisu sta ekvivalentni, saj če je <math>z=f(y)\!</math> in <math>y=g(x)\!</math>, potem je tudi <math> z = f(g(x)) = (f \circ g)(x) </math> in tako

: <math>\left.\frac{dz}{dx}\right|_x = (f \circ g)'(x)</math>

in

: <math>
\left.\frac{dz}{dy}\right|_{y(x)}\cdot\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x} = f'(y(x))g'(x) = f'(g(x))g'(x).</math><ref name=":0">{{Navedi splet|url=https://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/chainLeibniz.html|title=Chain Rule in Leibniz Notation|website=oregonstate.edu|accessdate=2019-07-28}}</ref>

Intuitivno, nam pravilo kompozituma pravi, da s poznanjem trenutne spremembe spremenljivke ''z'' glede na ''y'' in ''y'' glede na ''x'', lahko izračunamo trenutno spremembo ''z'' glede na ''x''. Ali kot je rekel [[George F. Simmons]]: "če avto potuje dvakrat hitreje kot kolo in kolo potuje štirikrat hitreje kot pešec, potem se avto premika 2 × 4 = 8 krat hitreje od pešca."<ref>[[George F. Simmons]], ''Calculus with Analytic Geometry'' (1985), p. 93.</ref>

Pri [[Integral|integraciji]], je obratni izrek pravila kompozituma [[uvedba nove spremenljivke]].

== Glej tudi ==

* [[Uvedba nove spremenljivke]]
* [[Leibnizovo integralno pravilo]]
* [[Odvod količnika]]
* [[Odvod trojnega produkta]]
* [[Odvod produkta]]
* [[Avtomatsko odvajanje]], izračunljiva metoda, ki močno uporablja verižno pravilo za izračun natančnih numeričnih odvodov.

== Sklici ==
{{Sklici}}

== Zunanje povezave ==

* {{springer|title=Leibniz rule|id=Leibniz_rule}}
* {{MathWorld | urlname=ChainRule | title=Chain Rule}}
{{normativna kontrola}}
[[Kategorija:Pravila odvajanja]]