Ogled vira Polinom

{{Funkcije}}
'''Polinóm''', '''mnogočlénik''' ali '''veččlenik''' stopnje ''n'', je [[linearna kombinacija]] [[potenca|potenc]] z nenegativnimi [[celo število|celimi]] [[eksponent]]i.

== Splošno ==

Splošni zapis polinoma

: <math>p_n (x) = a_n x^n  + a_{n - 1} x^{n - 1}  + a_{n - 2} x^{n - 2}  +  \cdots  + a_2 x^2  + a_1 x + a_0\qquad(1) </math>

ali krajše

: <math>p_n (x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k\qquad(2) , </math>

kjer so koeficienti
 
: <math>a_n ,a_{n - 1} ,a_{n - 2} , \ldots a_2 ,a_1 ,a_0 \;;\;a_n  \ne 0\qquad(3) </math> 

poljubna [[realno število|realna števila]] ali kompleksna števila. Polinome uvrščamo med cele [[racionalno število|racionalne]] [[racionalna funkcija|funkcije]]. Preprosti polinomi so realne funkcije ene realne spremenljivke:

: <math>p:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\quad p:x \mapsto p(x)\qquad(4) . </math>

Osnovni parametri polinoma so:

* stopnja polinoma ''st(p) = n''
* vodilni koeficient ''a<sub>n</sub>''
* prosti člen ''a<sub>0</sub>.''

Glede stopnje polinoma ločimo

* polinom [[0|ničte]] stopnje (n = 0) ali konstantni polinom

: <math>p_0 (x) = a_0 ,a_0  \ne 0\qquad(5) , </math>

* polinom prve stopnje (n = 1) ali linearni polinom

: <math>p_1 (x) = a_1 x + a_0 ,a_1  \ne 0\qquad(6) , </math>

* polinom druge stopnje (n = 2) ali kvadratni polinom

: <math>p_2 (x) = a_2 x^2  + a_1 x + a_0 ,a_2  \ne 0\qquad(7)</math>

* polinom tretje stopnje (n = 3) ali kubični polinom

: <math>p_3 (x) = a_3 x^3  + a_2 x^2  + a_1 x + a_0 ,a_3  \ne 0\qquad(8) ... </math>

[[Graf funkcije|Graf]] polinoma je nepretrgana ravninska polinomska [[matematična krivulja|krivulja]] ''n''-te stopnje:

: <math>Gr_p  = \left\{ {T(x,p(x));\left( {x \in \mathbb{R}} \right) \wedge \left( {y = p(x)} \right)} \right\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}\qquad(9) . </math>

== Enakost polinomov ==

Polinoma

: <math>p_n (x) = a_n x^n  + a_{n - 1} x^{n - 1}  +  \cdots  + a_2 x^2  + a_1 x + a_0 ,\;a_n  \ne 0</math>

in

: <math>q_m (x) = b_m x^m  + b_{m - 1} x^{m - 1}  +  \cdots  + b_2 x^2  + b_1 x + b_0 ,\;b_m  \ne 0</math>

sta med seboj enaka, če se ujemata v stopnji (n = m) in v vseh koeficientih (za vsak k ≤ n velja a<sub>k</sub> = b<sub>k</sub>).

== Računske operacije nad polinomi ==

Nad polinomi lahko izvajamo naslednje računske operacije:

* [[množenje]] polinomov s konstanto
* [[seštevanje]] polinomov
* [[odštevanje]] polinomov
* [[množenje]] polinomov
* [[deljenje]] polinomov
* [[potenciranje]] polinomov.

Za računske operacije, ki jih izvajamo nad polinomi veljajo enaki računski zakoni kot za računanje s celimi števili.

=== Množenje polinoma s konstanto ===

Pri množenju polinoma s konstanto množimo vse njegove člene s to konstanto:

: <math>(c \cdot p)(x) = \sum_{k = 0}^{n} ca_{k} x^k  ,c \in \mathbb{R}\qquad(10) . </math>

=== Seštevanje polinomov ===

Seštevanje dveh ali več polinomov izvajamo tako, da seštevamo med seboj člene z enakimi potencami. Stopnja vsote je manjša ali kvečjemu enaka najvišji stopnji izmed vseh polinomov v vsoti.

: <math>(p_{n}  + q_{m})(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^k  + \sum_{l = 0}^{m} b_{l} x^l  = \sum_{k = 0}^{\max (m,n)} (a_{k}  + b_{k } )x^k\qquad(11)</math>

=== Odštevanje polinomov ===

Odštevanje polinomov je nasprotna računska operacija seštevanju, zato za odštevanje polinomov veljajo enaka pravila kot za seštevanje:

: <math>(p_{n}  - q_{m})(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^k  - \sum_{l = 0}^{m} b_{l} x^l  = \sum_{k = 0}^{\max (m,n)} (a_{k}  - b_{k } )x^k\qquad(12) . </math>

=== Množenje polinomov ===

Polinome med seboj množimo po distributivnostnem pravilu ali pravilu o razčlenjevanju.

: <math>(p_{n}  \cdot q_{m} )(x) = \left( {\sum_{k = 0}^{n} a_{k } x^k } \right) \cdot \left( {\sum_{l = 0}^{m} b_{l } x^l } \right) = \sum_{k = 0}^{n} {\sum_{l = 0}^{m} a_{k} b_{l } x^{k + l} }  = \sum_{i = 0}^{n + m} {\left( {\sum_{k + l = i}^{} a_{k} b_{l } } \right)} x^i\qquad(13)</math>

Velja naslednje: Vodilni koeficient produkta dveh ali več polinomov je enak produktu vodilnih koeficientov posameznih polinomov. Prosti člen produkta dveh ali več polinomov je prav tako enak produktu prostih členov posameznih polinomov. [[Stopnja polinoma|Stopnja]] produkta dveh ali več polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.

=== Deljenje polinomov ===

Pri deljenju polinomov se oprimemo [[osnovni izrek o deljenju|osnovnega izreka o]] [[deljenje|deljenju]], ki pravi: Za poljubna polinoma ''p'' stopnje ''n'' in ''q'' stopnje ''m'', kjer velja ''n > m'', obstajata natanko določena polinoma ''k'' in ''r'', tako da velja

:<math>p_{n} (x) = k_{n - m} (x) \cdot q_{m} (x) + r(x)\qquad(14) . </math>

Polinom ''k'' imenujemo [[količnik]] (stopnje ''n - m''), polinom ''r'' pa [[ostanek]] (stopnje ''0 ≤ st(r) < m'').

=== Deljenje polinoma ''p'' s polinomom (''x''&nbsp;−&nbsp;''a'') ===

Posebej zanimiv primer deljenja je deljenje polinoma ''p'' z linearnim polinomom oblike (''x''&nbsp;−&nbsp;''a''). Ker je stopnja ostanka vedno manjša od stopnje delitelja, mora biti ostanek pri takem deljenju stopnje 0 - ostanek je torej konstanten polinom (število):
:<math>p(x)=(x-a)\,k(x) + o</math>
Če v zgornjo enakost vstavimo vrednost ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'', se izkaže, da je vrednost ''p''(''a'') ravno enaka zgoraj omenjenemu ostanku. Torej velja pomembna zakonitost:

Ostanek pri deljenju polinoma ''p'' s polinomom (''x''&nbsp;−&nbsp;''a'') je vedno enak kot vrednost polinoma ''p'' v točki ''a''.

Če je število ''a'' [[ničla funkcije|ničla]] polinoma ''p'', je ostanek seveda enak 0 in to pomeni, da lahko polinom zapišemo v obliki produkta dveh faktorjev:
:<math>p(x)=(x-a)\,q(x)</math>

== Razcep polinomov ==

Če poznamo vse ničle, lahko polinom stopnje ''n'' zapišemo v razcepljeni (ničelni) obliki:
:<math>p(x)=A(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)</math>

Število ''A'' je vodilni koeficient polinoma, števila ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> pa so ničle.

Pri tem se lahko upravičeno vprašamo, ali polinom sploh ima ničle. Obstoj ničel zagotavlja [[osnovni izrek algebre]] (imenovan tudi Gaussov izrek). Žal pa ne obstaja noben splošni postopek, s katerim bi lahko izračunali vse ničle katerega koli polinoma. Pri iskanju ničel si zato pomagamo z različnimi postopki, med katerimi so najpomembnejši:
* pravila za [[faktorizacija|razcepljanje]] veččlenikov,
* [[Hornerjev algoritem]],
* [[numerične metode]], npr. [[bisekcija (numerična metoda)|metoda bisekcije]].

== Viètove formule polinoma ==
Naj bo <blockquote><math>p(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2+a_1x+a_0</math> </blockquote>polinom stopnje <math>n</math>, <math>a_n,a_{n-1},\dots,a_2,a_1,a_0</math>koeficienti polinoma in <math>a_n \neq 0.</math> Z <math>\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_n</math>označimo (ne nujno različne) ničle polinoma <math>p</math>. Potem med ničlami polinoma <math>p</math> in njegovimi koeficienti obstajajo relacije, ki jih imenujemo ''Vietove formule polinoma.'' Imenujejo se po francoskem matematiku [[François Viète|Françoisu Vièteu]].

Glasijo se takole:

<math>\begin{align} &\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_{n-1} + \alpha_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}} \\ 
&(\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3+\cdots + \alpha_1 \alpha_n) + (\alpha_2 \alpha_3 + \alpha_2 \alpha_4+\cdots + \alpha_2\alpha_n)+\cdots + \alpha_{n-1}\alpha_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\
{} \quad & \vdots \\ &\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}. \end{align}</math>

=== Zgledi ===

==== Polinom stopnje 2 ====
Polinom stopnje 2, ali bolj pogosto [[kvadratna funkcija]] je polinom oblike<blockquote><math>p(x)=ax^2 + bx + c, \; a\neq 0.</math></blockquote>Viètovi formuli za kvadratno funkcijo z ničlama <math>x_1</math>in <math>x_2

</math> večina že pozna iz osnovne ali srednje šole. Glasijo se takole:<blockquote><math>\begin{align} &x_1  + x_2 = -\frac{b}{a} \\ &x_1x_2 = \frac{c}{a}\end{align}</math></blockquote>

==== Polinom stopnje 3 ====
Splošna oblika polinoma 3. stopnje je <blockquote><math>p(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\; a\neq 0.</math></blockquote>Viètove formule za polinom stopnje 3 z ničlami <math>\alpha_1, \alpha_2</math>in <math>\alpha_3</math> se glasijo:<blockquote><math>\begin{align} & \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = -\frac{b}{a} \\ & \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3
= \frac{c}{a} \\ & \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 = -\frac{d}{a}.\end{align}</math></blockquote>Oglejmo si lahek zgled uporave Viètovih formul:<blockquote>''<u>Naloga:</u> Polinom''  <math>p</math> ''naj bo'' ''podan z''  <math>p(x):=x^3+2x^2+3x+4,</math>''z'' <math>\alpha, \beta</math> ''in'' <math>\gamma</math> ''pa označimo njegove ničle. Ne da bi izračunal ničle polinoma'' <math>p</math> ''izračunaj vrednost izraza'' <math>\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2.</math>


''<u>Rešitev:</u>'' Izraz <math>\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2</math> je enak <math>(\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \alpha \gamma + \beta\gamma).</math> V njem opazimo Viètove formule za polinom <math>p</math>, ki so<math>\alpha + \beta + \gamma = -\frac{a_2}{a_3}=-\frac{2}{1}=-2, \; \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = \frac{a_1}{a_3}=\frac{3}{1} = 3</math> in <math>\alpha\beta\gamma = (-1)^3\frac{a_0}{a_3}=-\frac{4}{1}=-4</math>. 

Vidimo, da se produkt ničel ne ponavlja v našem izrazu, zato uporabimo samo prvi dve in dobimo

<math>\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = </math><math>(\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \alpha \gamma + \beta\gamma)= (-2)^2 -2 \cdot 3 = -2.</math></blockquote>'''Opomba:'''

Če bi poskušali izračunati ničle zgoraj podanega polinoma <math>p</math> bi se zelo namučili. [[Osnovni izrek algebre]] nam zagotavlja obstoj treh kompleksnih ničel, ne vemo pa kako se jih izračuna. Ena izmed metod so [https://proofwiki.org/wiki/Cardano%27s_Formula Cardanove formule], ki so zelo računsko zahtevne. S kakšnim spletnim programom za simbolno računanjem lahko pokažemo, da so ničle polinoma <math>p</math>:<blockquote><math>\begin{align}
 x_1 = \frac{1}{3}\sqrt[3]{-2 - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} - 7}} + \sqrt[3]{15 \sqrt{6} - 35}} \\
 x_2 = \frac{1}{6}\sqrt[3]{-4 - \frac{5^{\frac{2}{3}}(1-i\sqrt{3})}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} - 7}} + (-1-i\sqrt{3})\sqrt[3]{15 \sqrt{6} - 35}} \\
 x_3 = \frac{1}{6}\sqrt[3]{-4 - \frac{5^{\frac{2}{3}}(1+i\sqrt{3})}{\sqrt[3]{3 \sqrt{6} - 7}} + (-1+i\sqrt{3})\sqrt[3]{15 \sqrt{6} - 35}}.
\end{align}</math></blockquote>Opazimo, da nam Viètove formule dajo zelo lepo povezavo med ničlami in koeficienti polinoma. Pomislimo sedaj, kako bi preverili, da je <math>x_1 + x_2 + x_3</math>res enako <math>-2</math>, če ne bi poznali formul in bi se računanja lotili z izračunanimi ničlami.


Glej tudi

* [[Hornerjev algoritem]]
* [[algebrska enačba]]
* [[homogeni polinom]]
* [[monom]]

[[Kategorija:Matematika]]
[[Kategorija:Elementarne funkcije]]
[[Kategorija:Polinomi| ]]
{{normativna kontrola}}