Ogled vira Racionalna normalna krivulja

'''Racionalna normalna krivulja''' je v [[matematika|matematiki]] gladka [[algebrska krivulja|racionalna]] krivulja C s  [[stopnja algebrske varietete|stopnjo]] <math> n \,</math> v [[projektivni prostor|projektivnem n-prostoru]] <math>\mathbb{P}^n </math>.  

Je enostaven primer [[algebrska varieteta|projektivne varietete]]. To je [[Veronesova ploskev|Veronesova varieteta]], kadar je domena projektivna premica. Za n = 2 je to običajna [[parabola]], za  n = 3 pa je to [[zvita krivulja tretje stopnje]].     

== Definicija ==
Racionalna normalna krivulja je dana parametrično kot slika preslikave 
:<math>\nu:\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^n</math>.
To pa priredi [[homogene koordinate|homogenim koordinatam]] <math>[S:T]</math> vrednost 
:<math>\nu:[S:T] \mapsto [S^n:S^{n-1}T:S^{n-2}T^2:\ldots:T^n].</math>

V [[težiščni koordinatni sistem|afinih koordinatah]] za <math> x_0\ \neq \ 0 </math> je preslikava 
:<math>\nu:x \mapsto (x,x^2, \ldots ,x^n).</math>

To pomeni, da je racionalna normalna krivulja [[zaprtje (matematika)|zaprtje]] z eno [[točka v neskončnosti|točko v neskončnosti]] [[algebrska varieteta|afine krivulje]]
<math>(x,x^2,\dots,x^n)</math>.

== Lastnosti ==
* vsaka točka na C je linearno neodvisna. Nahaja se v  <math>\mathbb{P}^n</math>. Ta lastnost loči racionalno normalno krivuljo od vseh ostalih. 
* za dane n + 3 točke v <math>\mathbb{P}^n</math>, ki se nahajajo v [[splošni položaj|splošnem položaju]], kar pomeni, da n + 1 točk ne leži v [[hiperravnina|hiperravnini]]. Skozi nje poteka racionalna normalna krivulja. Krivuljo lahko nedvoumno določimo s pomočjo parameterizacije tako, da po preureditvi leži n + 1 točk na koordinatnih oseh, nato pa preslikamo drugi dve točki v [S : T] = [0 : 1] in [S : T] = [1 : 0] 
* tangentna in sekantna premica racionalne normalne krivulje sta paroma disjunktni, razen v točkah same krivulje.  
Znanih je <math>\binom{n+2}{2}-2n-1</math> neodvisnih [[kvadrik]]ov, ki generirajo  [[ideal (matematika)|ideal]] krivulje.  

== Glej tudi ==
* [[modularna krivulja]]

[[Kategorija:Algebrske krivulje]]
[[Kategorija:Biracionalna geometrija]]