Racionalna normalna krivulja

Racionalna normalna krivulja je v matematiki gladka racionalna krivulja C s stopnjo $n$ v projektivnem n-prostoru ${\mathbb{P}}^n$.

Je enostaven primer projektivne varietete. To je Veronesova varieteta, kadar je domena projektivna premica. Za n = 2 je to običajna parabola, za n = 3 pa je to zvita krivulja tretje stopnje.

Definicija

Racionalna normalna krivulja je dana parametrično kot slika preslikave

$\nu :{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^n$.

To pa priredi homogenim koordinatam $[S:T]$ vrednost

$\nu :[S:T]\mapsto [S^n:S^{n-1}T:S^{n-2}{T}^2:\dots :T^n].$

V afinih koordinatah za $x_0\ne 0$ je preslikava

$\nu :x\mapsto (x,x^2,\dots ,x^n).$

To pomeni, da je racionalna normalna krivulja zaprtje z eno točko v neskončnosti afine krivulje $(x,x^2,\dots ,x^n)$.

Lastnosti

• vsaka točka na C je linearno neodvisna. Nahaja se v ${\mathbb{P}}^n$. Ta lastnost loči racionalno normalno krivuljo od vseh ostalih.
• za dane n + 3 točke v ${\mathbb{P}}^n$, ki se nahajajo v splošnem položaju, kar pomeni, da n + 1 točk ne leži v hiperravnini. Skozi nje poteka racionalna normalna krivulja. Krivuljo lahko nedvoumno določimo s pomočjo parameterizacije tako, da po preureditvi leži n + 1 točk na koordinatnih oseh, nato pa preslikamo drugi dve točki v [S : T] = [0 : 1] in [S : T] = [1 : 0]
• tangentna in sekantna premica racionalne normalne krivulje sta paroma disjunktni, razen v točkah same krivulje.

Znanih je $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2})-2n-1$ neodvisnih kvadrikov, ki generirajo ideal krivulje.

Glej tudi

• modularna krivulja