Ogled vira Riemannova funkcija ksi

[[Slika:Complex Riemann Xi.jpg|thumb|right|250px|Riemannova funkcija <math>\xi(s)\, </math> v [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]]. [[Barva]] [[Točka (geometrija)|točke]] <math>s\, </math> odkriva vrednost funkcije ξ(''s''). Temnejše barve označujejo vrednosti blizu [[0|nič]], odtenek pa [[argument (kompleksna analiza)|argument]] vrednosti.]]

'''Riemannova funkcija hi''' (občajna označba <math>\xi(s)\, </math>) je v [[matematika|matematiki]] in še posebej [[analitična teorija števil|analitični teoriji števil]] [[specialna funkcija]] kot različica [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ(''s'')]], definirana tako, da ima še posebej enostavno [[funkcijska enačba|funkcijsko enačbo]]. Imenuje se po nemškem matematiku [[Bernhard Riemann|Bernhardu Riemannu]].

== Definicija ==

Riemannovo izvirno funkcijo hi (označeno z malo črko ξ) je [[Edmund Landau]] poimenoval v funkcijo Hi (označeno z veliko črko Ξ). Landauova funkcija ξ(''s'') je definirana kot:<ref>{{sktxt|Landau|1909|loc=§70}}.</ref>

: <math> \xi(s) = \tfrac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \Gamma\left(\tfrac{1}{2} s\right) \zeta(s), \qquad ( s \in \Complex ) \!\, . </math>

Tukaj je ζ(''s'') Riemannova funkcija zeta, Γ(''s'') pa [[funkcija gama|funkcija Γ]]. Funkcijska enačba (ali posebej [[refleksijska formula]]) za funkcijo ξ je:

: <math> \xi(1-s) = \xi(s) \!\, . </math>
 
Funkcija Ξ je po Landau definirana kot:<ref>{{sktxt|Landau|1909|loc=§71}}.</ref>

: <math> \Xi(z) = \xi(\frac12+zi) \!\, </math>

in zanjo velja funkcijska enačba:

: <math> \Xi(-z) = \Xi(z) \!\, . </math>

Kot je poročal Landau,<ref>{{sktxt|Landau|1909|pp=894}}.</ref> je ta funkcija Ξ tista, ki jo je Riemann izvirno označil z malo črko ξ.

== Značilnosti ==

=== Posebne vrednosti Riemannove funkcije ξ ===

Splošna oblika za [[sodo število|soda]] [[pozitivno število|pozitivna]] [[celo število|cela števila]] je:

: <math> \xi(2n) = (-1)^{n+1}\frac{1}{(2n)!}B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)! \!\, , </math>

kjer je ''B<sub>n</sub>'' ''n''-to [[Bernoullijevo število]].

: <math> \xi(-3) = \frac{\pi^{2}}{15} = 0,657973626739 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A182448}}.

: <math> \xi(-1) = \frac{\pi}{6} = 0,523598775598 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A019673}}.

: <math> \xi(0) = \frac{1}{2} = 0,5 \!\, . </math>

: <math> \xi(1/2) = - \frac{1}{8 \pi^{1/4}} \Gamma(1/4) \zeta(1/2) = 0,497120778188 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A114720}}.

: <math> \xi(1) = \xi(0) \!\, . </math>

: <math> \xi(3/2) = \frac{3}{8 \pi^{3/4}} \Gamma(3/4) \zeta(3/2) = 0,508731038726 \ldots \!\, . </math>

: <math> \xi(2) = \xi(-1) \!\, . </math>

: <math> \xi(5/2) = \frac{15}{8 \pi^{5/4}} \Gamma(5/4) \zeta(5/2) = 0,545094207012 \ldots \!\, . </math>

: <math> \xi(3) = \xi(-2) = \frac{3\zeta(3)}{2\pi} = 0,573939894046 \ldots \!\, . </math>

: <math> \xi(7/2) = \frac{35}{8 \pi^{7/4}} \Gamma(7/4) \zeta(7/2) = 0.611128007495 \ldots \!\, . </math>

: <math> \xi(4) = \xi(-3) \!\, . </math>

: <math> \xi(5) = \xi(-4) = \frac{15\zeta(5)}{2\pi^{2}} = 0,787970606270 \ldots \!\, . </math>

: <math> \xi(6) = \xi(-5) = \frac{2\pi^{3}}{63} = 0,984326243819 \ldots \!\, . </math>

: <math> \xi(7) = \xi(-6) = \frac{315\zeta(7)}{8\pi^{3}} = 1,280506950456 \ldots \!\, . </math>

== Izrazi z vrstami ==

Funkcijo <math>\xi</math> se lahko razvije v [[neskončna vrsta|vrsto]]:

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right) = 
       \sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n \!\, , </math>

kjer je [[logaritemski odvod]]:

: <math> \lambda_n = \frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} s^n} 
\left[s^{n-1} \ln \xi(s) \right] \right|_{s=1} \!\, . </math>

Ta razvoj je še posebej pomemben pri [[Lijev kriterij|Li-Keiperjevem kriteriju]], po katerem je [[Riemannova domneva]] enakovredna dejstvu, da so vse vrednosti členov [[zaporedje|zaporedja]] λ<sub>''n''</sub>&nbsp;&gt;&nbsp;0 za vse pozitivne ''n''. Števila  <math>\lambda_n\, </math>, imenovana Li-Keiperjeve konstante<ref name="coffey_2007">{{sktxt|Coffey|2007}}.</ref> ali Keiper-Lijevi koeficienti,<ref>{{sktxt|Arias de Reyna|2011}}.</ref> se lahko izrazijo z netrivialnimi ničlami Riemannove funkcije ζ:

: <math> \lambda_n = \sum_{\rho} \left[1- \left(1-\frac{1}{\rho}\right)^n\right] \!\, , </math>

kjer vsota poteka po ρ, netrivialnih ničlah Riemannove funkcije ζ po vrsti <math>|\Im(\rho)|</math>. To [[pogojna konvergenca|pogojno konvergentno]] vsoto je treba razumeti v smislu, ki se po navadi rabi v [[teorija števil|teoriji števil]], tako da velja limita:

: <math> \sum_\rho = \lim_{N\to\infty} \sum_{|\Im(\rho)|\le N} \!\, . </math>

Posebej je znana vrednost:<ref name="coffey_2007" />

: <math> \lambda_{1} = - \frac{\ln \pi}{2} + \frac{\gamma}{2} + 1 - \ln 2 = 0,023095708966 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A074760}},

kjer je γ [[Euler-Mascheronijeva konstanta]]. 

[[Enrico Bombieri|Bombieri]] in [[Jeffrey Lagarias|Lagarias]] sta pokazala, da Li-Keiperjev kriterij sledi iz [[Weilov kriterij|Weilovega kriterija]] za [[posplošena Riemannova domneva|posplošeno Riemannovo domnevo]].

== Hadamardov produkt ==

Razvoj z enostavnim [[neskončni produkt|neskončnim produktom]] je:

: <math> \xi(s) = \xi(0)\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) \!\, , </math>

kjer ρ teče po korenih enačbe <math>\xi(\rho) = 0\, </math>. Razvoj je leta 1859 zapisal Riemann, [[Jacques Salomon Hadamard|Hadamard]] pa je leta 1893 podal strogi [[matematični dokaz|dokaz]] zanj.

Za zagotovitev [[konvergenca|konvergence]] je treba produkt računati z » ujemajočimi pari« ničel, kar pomeni, da je treba združevati faktorje za par ničel oblike ρ in 1 − ρ.

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Arias de Reyna|first1= Juan|title= Asymptotics of Keiper-Li Coefficients|date= 2011-01-31|url= http://personal.us.es/arias/56-2RHB.pdf}} 
* {{citat|last1= Coffey|first1= Mark W.|title= The theta-Laguerre calculus formulation of the Li/Keiper constants|date= junij 2007|journal= [[Journal of Approximation Theory]]|volume= 146|issue= 2|pages= 267–275|doi= 10.1016/j.jat.2006.10.006}}
* {{citat|last1= Keiper|first1= Jerry B.|authorlink1= Jerry B. Keiper|title= Power series expansions of Riemann ζ-function|journal= [[Mathematics of Computation|Math. Comp.]]|date= 1992|volume= 58|issue= 198|pages= 765–773|doi= 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5|bibcode= 1992MaCom..58..765K}}
* {{citat|last1= Landau|first1= Edmund|authorlink1= Edmund Landau|title=Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen |publisher= Teubner|location= New York |origyear=1909 |edition=3. |year=1974 }}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=Xi-Function|title=Xi-Function}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Analitična teorija števil]]
[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]]
[[Kategorija:Bernhard Riemann]]