Riemannova funkcija ksi

Riemannova funkcija $\xi (s)$ v kompleksni ravnini. Barva točke $s$ odkriva vrednost funkcije ξ(s). Temnejše barve označujejo vrednosti blizu nič, odtenek pa argument vrednosti.

Riemannova funkcija hi (občajna označba $\xi (s)$) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija kot različica Riemannove funkcije ζ(s), definirana tako, da ima še posebej enostavno funkcijsko enačbo. Imenuje se po nemškem matematiku Bernhardu Riemannu.

Definicija

Riemannovo izvirno funkcijo hi (označeno z malo črko ξ) je Edmund Landau poimenoval v funkcijo Hi (označeno z veliko črko Ξ). Landauova funkcija ξ(s) je definirana kot:

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s),(s\in ℂ).$

Tukaj je ζ(s) Riemannova funkcija zeta, Γ(s) pa funkcija Γ. Funkcijska enačba (ali posebej refleksijska formula) za funkcijo ξ je:

$\xi (1-s)=\xi (s).$

Funkcija Ξ je po Landau definirana kot:

$\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+zi)$

in zanjo velja funkcijska enačba:

$\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z).$

Kot je poročal Landau, je ta funkcija Ξ tista, ki jo je Riemann izvirno označil z malo črko ξ.

Značilnosti

Posebne vrednosti Riemannove funkcije ξ

Splošna oblika za soda pozitivna cela števila je:

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n^2-n)(n-1)!,$

kjer je B_n n-to Bernoullijevo število.

$\xi (-3)=\frac{{\pi }^2}{15}=0,657973626739\dots ,$ Predloga:OEIS.

$\xi (-1)=\frac{\pi }{6}=0,523598775598\dots ,$ Predloga:OEIS.

$\xi (0)=\frac{1}{2}=0,5.$

$\xi (1/2)=-\frac{1}{8{\pi }^{1/4}}\mathrm{\Gamma }(1/4)\zeta (1/2)=0,497120778188\dots ,$ Predloga:OEIS.

$\xi (1)=\xi (0).$

$\xi (3/2)=\frac{3}{8{\pi }^{3/4}}\mathrm{\Gamma }(3/4)\zeta (3/2)=0,508731038726\dots .$

$\xi (2)=\xi (-1).$

$\xi (5/2)=\frac{15}{8{\pi }^{5/4}}\mathrm{\Gamma }(5/4)\zeta (5/2)=0,545094207012\dots .$

$\xi (3)=\xi (-2)=\frac{3\zeta (3)}{2\pi }=0,573939894046\dots .$

$\xi (7/2)=\frac{35}{8{\pi }^{7/4}}\mathrm{\Gamma }(7/4)\zeta (7/2)=0.611128007495\dots .$

$\xi (4)=\xi (-3).$

$\xi (5)=\xi (-4)=\frac{15\zeta (5)}{2{\pi }^2}=0,787970606270\dots .$

$\xi (6)=\xi (-5)=\frac{2{\pi }^3}{63}=0,984326243819\dots .$

$\xi (7)=\xi (-6)=\frac{315\zeta (7)}{8{\pi }^3}=1,280506950456\dots .$

Izrazi z vrstami

Funkcijo $\xi$ se lahko razvije v vrsto:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n,$

kjer je logaritemski odvod:

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{s}^n}[s^{n-1}\ln \xi (s)]|}_{s=1}.$

Ta razvoj je še posebej pomemben pri Li-Keiperjevem kriteriju, po katerem je Riemannova domneva enakovredna dejstvu, da so vse vrednosti členov zaporedja λ_n > 0 za vse pozitivne n. Števila ${\lambda }_n$, imenovana Li-Keiperjeve konstante ali Keiper-Lijevi koeficienti, se lahko izrazijo z netrivialnimi ničlami Riemannove funkcije ζ:

${\lambda }_n=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n],$

kjer vsota poteka po ρ, netrivialnih ničlah Riemannove funkcije ζ po vrsti $|\mathrm{\Im }(\rho )|$. To pogojno konvergentno vsoto je treba razumeti v smislu, ki se po navadi rabi v teoriji števil, tako da velja limita:

$\sum _{\rho }=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{|\mathrm{\Im }(\rho )|\le N}.$

Posebej je znana vrednost:

${\lambda }_1=-\frac{\ln \pi }{2}+\frac{\gamma }{2}+1-\ln 2=0,023095708966\dots ,$ Predloga:OEIS,

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Bombieri in Lagarias sta pokazala, da Li-Keiperjev kriterij sledi iz Weilovega kriterija za posplošeno Riemannovo domnevo.

Hadamardov produkt

Razvoj z enostavnim neskončnim produktom je:

$\xi (s)=\xi (0)\prod _{\rho }(1-\frac{s}{\rho }),$

kjer ρ teče po korenih enačbe $\xi (\rho )=0$. Razvoj je leta 1859 zapisal Riemann, Hadamard pa je leta 1893 podal strogi dokaz zanj.

Za zagotovitev konvergence je treba produkt računati z » ujemajočimi pari« ničel, kar pomeni, da je treba združevati faktorje za par ničel oblike ρ in 1 − ρ.

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld