Ogled vira Sfernost

[[slika:Rounding & sphericity EN.svg|thumb|right|300px|Shematski prikaz razlike v obliki zrn. Prikazana sta dva parametra: sfernost (navpično) in [[okroglost (geologija)|okroglost]] (vodoravno).]]

'''Sfêrnost''' (tudi '''sfêričnost''') je [[merilo]], kako zelo je oblika objekta podobna obliki popolne [[sfera|sfere]]. Sfernost [[kroglica (ležaj)|kroglic]] v [[kroglični ležaj|krogličnem ležaju]] na primer določa [[kakovost]] ležaja, kot je obremenitev, ki jo lahko prenese, ali hitrost, s katero se lahko vrti, ne da bi odpovedal. Sfernost je poseben primer [[mera kompaktnosti oblike|mere kompaktnosti oblike]]. Sfernost <math> \Psi \!\, </math> delca, kot jo je definiral Hakon Wadell leta 1935, je razmerje med [[površina|površino]] sfere z enako [[prostornina|prostornino]] kot dano [[geometrijsko telo|telo]] in površino telesa:{{r|wade_1935}}

: <math> \Psi = \frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}} \!\, , </math>

kjer je:

* <math> V_{p} \!\, </math> – [[prostornina]] telesa,
* <math> A_{p} \!\, </math> – [[površina]] telesa.

Sfernost sfere je enaka [[1 (število)|1]] po definiciji, in po [[izoperimetrični problem|izoperimetrični neenakosti]] bo imelo vsako telo, ki ni sfera, sfernost manjšo od 1.

Sfernost velja v [[trirazsežni prostor|treh razsežnostih]]. Njen analog v [[dvorazsežni prostor|dveh razsežnostih]], kot so [[krožnica|krožnice]] [[prerez (geometrija)|prečnega prereza]] vzdolž [[valj]]nega objekta, kot je [[Gred (strojništvo)|gred]], se imenuje [[okroglost]].

== Elipsoidni objekti ==
{{glej tudi|sploščenost}}
{{glej|krogelna Zemlja}}

Sfernost <math> \Psi \!\, </math> [[sploščeni sferoid|sploščenega sferoida]] (podobnega obliki planeta [[Zemlja]]) je:

: <math> \Psi = 
\frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V_{\rm p})^{\frac{2}{3}}}{A_{\rm p}} = 
\frac{2\sqrt[3]{ab^{2}}}{a + \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} \ln{ \left( \frac{a + \sqrt{a^{2} - b^{2}}} {b} \right) }} \!\, , </math>

kjer sta <math> a \!\, </math> in <math> b \!\, </math> [[velika polos|velika]] in [[mala polos]] nosilne [[elipsa|elipse]]. Za Zemljo veljata [[Zemljin polmer|polmera]] <math> a = 6378,1366 \text{ km} \!\, </math> in <math> b = 6356,7523 \text{ km} \!\, , </math>

in njena sfernost:

: <math> \Psi_{\rm Z} = 
\frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V_{\rm Z})^{\frac{2}{3}}}{A_{\rm Z}} = 
\frac{2\sqrt[3]{6378,1366 \cdot 6356,7523^{2}}}{6378,1366 + \frac{6356,7523^{2}}{\sqrt{6378,1366^{2} - 6356,7523^{2}}} \ln{ \left( \frac{6378,1366 + \sqrt{6378,1366^{2} - 6356,7523^{2}}} {6356,7523 } \right) }} = 0,999997993825555 \ldots \!\, . </math>

== Izpeljava ==

Wadell je definiral sfernost kot površino sfere z enako prostornino delca, deljeno z dejansko površino delca.

Najprej je treba zapisati površino sfere <math> A_{\rm s} \!\, </math> z izrazi prostornine delca <math> V_{\rm d} \!\, </math>:

: <math> A_{\rm s}^{3} = \left( 4 \pi r^{2}\right)^{3} = 4^{3} \pi^{3} r^{6} = 4 \pi \left(4^{2} \pi^{2} r^{6} \right) = 4 \pi \cdot 3^{2} \left( \frac{4^{2} \pi^{2}}{3^{2}} r^{6} \right) = 36 \pi \left(\frac{4 \pi}{3} r^{3} \right)^{2} = 36 \, \pi V_{\rm d}^{2} \!\, </math>

in tako:

: <math> A_{\rm d} = \left( 36 \, \pi V_{\rm d}^{2} \right)^{\frac{1}{3}} = 36^{\frac{1}{3}} \pi^{\frac{1}{3}} V_{\rm d}^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{1}{3}} V_{\rm d}^{\frac{2}{3}} = \pi^{\frac{1}{3}} \left(6V_{\rm d}\right)^{\frac{2}{3}} \!\, , </math>

od koder se definira <math> \Psi \!\, </math> kot:

: <math> \Psi = \frac{A_{\rm s}}{A_{\rm d}} = \frac{ \pi^{\frac{1}{3}} \left(6V_{\rm d}\right)^{\frac{2}{3}} }{A_{\rm d}} \!\, . </math>

== Sfernost običajnih objektov ==
{| border="1" cellpadding="7" style="margin:0 auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"
|-
! ime 
! slika
! [[prostornina]]
! [[površina]]
! sfernost
|-
| colspan=5 align=left|'''[[platonsko telo|platonska telesa]]'''
|-
| [[tetraeder]]
| [[slika:tetrahedron.jpg|50px|Tetraeder]]
| <math> \frac{\sqrt{2}}{12} \, s^{3} \!\, </math> || <math> \sqrt{3} \, s^{2} \!\, </math> || <math> \left( \frac{\pi}{6\sqrt{3}} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,671 \!\, </math>
|-
| [[kocka]]
| [[slika:hexahedron.jpg|50px|Kocka (heksaeder)]]
| <math> s^{3} \!\, </math> || <math> 6 \, s^{2} \!\, </math> || <math> \left( \frac{\pi}{6} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,806 \!\, </math>
|-
| [[oktaeder]]
| [[slika:octahedron.svg|50px|Oktaeder]]
| <math> \frac{1}{3} \sqrt{2} \, s^{3} \!\, </math> || <math> 2 \sqrt{3} \, s^{2} </math> || <math> \left( \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,846 \!\, </math>
|-
| [[dodekaeder]]
| [[slika:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Dodekaeder]]
| <math> \frac{1}{4} \left(15 + 7\sqrt{5}\right) \, s^{3} \!\, </math> || <math> 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \, s^{2} \!\, </math> || <math> \left( \frac{\left(15 + 7\sqrt{5}\right)^{2} \pi}{12\left(25+10\sqrt{5} \right)^{\frac{3}{2}}} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,910 \!\, </math>
|-
| [[ikozaeder]]
| [[slika:icosahedron.jpg|50px|Ikozaeder]]
| <math> \frac{5}{12}\left(3+\sqrt{5}\right) \, s^{3} \!\, </math> || <math> 5\sqrt{3} \,s^{2} \!\, </math> || <math> \left( \frac{ \left( 3 + \sqrt{5} \right)^{2} \pi}{60\sqrt{3}} 
\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,939 \!\, </math>
|-
| colspan=5 align=left|'''okrogle oblike'''
|-
| [[stožec]]<br /><math> (h=2\sqrt{2}r) \!\, </math>
| [[slika:Blender-mesh-cone.png|70px]] || <math> \frac{1}{3} \pi\, r^{2} h \!\, </math><br />
<math>= \frac{2\sqrt{2}}{3} \pi \, r^{3} \!\, </math> 
|| <math> \pi \, r (r + \sqrt{r^{2} + h^{2}}) \!\, </math><br />
<math>= 4 \pi \, r^{2} \!\,  </math>
|| <math> \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,794 \!\, </math>
|-
| [[polobla]]
| [[slika:Sphere symmetry group cs.png|70px]]
| <math> \frac{2}{3} \pi \, r^{3} \!\, </math> || <math>3 \pi \, r^{2} \!\, </math> || 
<math> \left( \frac{16}{27} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,840 \!\, </math>
|-
| [[valj]]<br /><math> (h=2 \, r) \!\, </math>
| [[slika:Circular cylinder rh.svg|70px]]
| <math> \pi r^{2} h = 2 \pi \, r^{3} \!\, </math> || <math> 2 \pi r ( r + h ) = 6 \pi \, r^{2} \!\, </math> || 
<math> \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,874 \!\, </math>
|-
| [[torus|svitek]]<br /><math> (R=r) \!\, </math>
| [[slika:Torus.png|70px]]
| <math> 2 \pi^{2} R r^{2} = 2 \pi^{2} \, r^{3} \!\, </math> || <math>4 \pi^{2} R r = 4 \pi^{2} \, r^{2} \!\, </math> || 
<math> \left( \frac{9}{4 \pi} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,894 \!\, </math>
|-
| [[sfera]]
| [[slika:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|70px]]
| <math> \frac{4}{3} \pi r^{3} \!\, </math> || <math> 4 \pi \, r^{2} \!\, </math> || 
<math> 1 \!\, </math>
|-
| colspan=5 align=left|'''druge oblike'''
|-
| [[rombski triakontaeder]]
| [[slika:Rhombictriacontahedron.svg|50px|Rombski triakontaeder]]
| <math> 4\sqrt{5+2\sqrt{5}} \, s^{3} \!\, </math> || <math> 12\sqrt{5} \,s^{2} \!\, </math> || <math> \frac{\pi^{\frac{1}{3}} \left( 24\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right)^{\frac{2}{3}}}{12\sqrt{5}} \approx 0,9609 \!\, </math> 
|-
| [[disdiakisni triakontaeder]]
| [[slika:Disdyakistriacontahedron.jpg|50px|Disdiakisni triakontaeder]]
| <math> \frac{180}{11}\left(5 + 4\sqrt{5}\right) \,s^{3} \!\, </math> || <math> \frac{180}{11}\sqrt{179-24\sqrt{5}} \, s^{2} \!\, </math> || <math> \frac{ \left( \left( 5 + 4\sqrt{5} \right)^{2}\frac{11\pi}{5} \right)^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{179 - 24\sqrt{5}}} \approx 0,9857 \!\, </math> 
|-
|}

== Glej tudi ==

* [[ekvivalentni sferni premer]]
* [[sploščenost]]
* [[indeks sfernosti]]
* [[izoperimetrično razmerje]]
* [[okroglost]]
* [[okroglost (geologija)]]
* [[Willmoreova energija]]

== Sklici ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="wade_1935">{{sktxt|Wadell|1935}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Wadell|first1= Hakon|title= Volume, Shape, and Roundness of Quartz Particles|journal= [[The Journal of Geology]]|date= 1935|volume= 43|pages= 250–280|issue= 3|doi= 10.1086/624298|bibcode= 1935JG.....43..250W}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{Wiktionary|sphericity}}

* [http://people.uncw.edu/dockal/gly312/grains/grains.htm Grain Morphology: Roundness, Surface Features, and Sphericity of Grains]

[[Kategorija:Geometrijsko merjenje]]
[[Kategorija:Sfere]]
[[Kategorija:Metrologija]]