Sfernost

Sfêrnost (tudi sfêričnost) je merilo, kako zelo je oblika objekta podobna obliki popolne sfere. Sfernost kroglic v krogličnem ležaju na primer določa kakovost ležaja, kot je obremenitev, ki jo lahko prenese, ali hitrost, s katero se lahko vrti, ne da bi odpovedal. Sfernost je poseben primer mere kompaktnosti oblike. Sfernost $Ψ$ delca, kot jo je definiral Hakon Wadell leta 1935, je razmerje med površino sfere z enako prostornino kot dano telo in površino telesa:Predloga:R

Ψ = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}},

kjer je:

$V_{p}$ – prostornina telesa,
$A_{p}$ – površina telesa.

Sfernost sfere je enaka 1 po definiciji, in po izoperimetrični neenakosti bo imelo vsako telo, ki ni sfera, sfernost manjšo od 1.

Sfernost velja v treh razsežnostih. Njen analog v dveh razsežnostih, kot so krožnice prečnega prereza vzdolž valjnega objekta, kot je gred, se imenuje okroglost.

Elipsoidni objekti

Predloga:Glej tudi Predloga:Glej

Sfernost $Ψ$ sploščenega sferoida (podobnega obliki planeta Zemlja) je:

Ψ = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}} = \frac{2 \sqrt[3]{a b^{2}}}{a + \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} \ln (\frac{a + \sqrt{a^{2} - b^{2}}}{b})},

kjer sta $a$ in $b$ velika in mala polos nosilne elipse. Za Zemljo veljata polmera $a = 6378, 1366 km$ in $b = 6356, 7523 km,$

in njena sfernost:

Ψ_{Z} = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{Z})^{\frac{2}{3}}}{A_{Z}} = \frac{2 \sqrt[3]{6378, 1366 \cdot 6356, 752 3^{2}}}{6378, 1366 + \frac{6356, 752 3^{2}}{\sqrt{6378, 136 6^{2} - 6356, 752 3^{2}}} \ln (\frac{6378, 1366 + \sqrt{6378, 136 6^{2} - 6356, 752 3^{2}}}{6356, 7523})} = 0, 999997993825555 \dots .

Izpeljava

Wadell je definiral sfernost kot površino sfere z enako prostornino delca, deljeno z dejansko površino delca.

Najprej je treba zapisati površino sfere $A_{s}$ z izrazi prostornine delca $V_{d}$ :

A_{s}^{3} = {(4 π r^{2})}^{3} = 4^{3} π^{3} r^{6} = 4 π (4^{2} π^{2} r^{6}) = 4 π \cdot 3^{2} (\frac{4^{2} π^{2}}{3^{2}} r^{6}) = 36 π {(\frac{4 π}{3} r^{3})}^{2} = 36 π V_{d}^{2}

in tako:

A_{d} = {(36 π V_{d}^{2})}^{\frac{1}{3}} = 3 6^{\frac{1}{3}} π^{\frac{1}{3}} V_{d}^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{2}{3}} π^{\frac{1}{3}} V_{d}^{\frac{2}{3}} = π^{\frac{1}{3}} {(6 V_{d})}^{\frac{2}{3}},

od koder se definira $Ψ$ kot:

Ψ = \frac{A_{s}}{A_{d}} = \frac{π^{\frac{1}{3}} {(6 V_{d})}^{\frac{2}{3}}}{A_{d}} .

Sfernost običajnih objektov

ime	prostornina	površina	sfernost
platonska telesa
tetraeder	$\frac{\sqrt{2}}{12} s^{3}$	$\sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{π}{6 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 671$
kocka	$s^{3}$	$6 s^{2}$	${(\frac{π}{6})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 806$
oktaeder	$\frac{1}{3} \sqrt{2} s^{3}$	$2 \sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{π}{3 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 846$
dodekaeder	$\frac{1}{4} (15 + 7 \sqrt{5}) s^{3}$	$3 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} s^{2}$	${(\frac{{(15 + 7 \sqrt{5})}^{2} π}{12 {(25 + 10 \sqrt{5})}^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 910$
ikozaeder	$\frac{5}{12} (3 + \sqrt{5}) s^{3}$	$5 \sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{{(3 + \sqrt{5})}^{2} π}{60 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 939$
okrogle oblike
stožec $(h = 2 \sqrt{2} r)$	$\frac{1}{3} π r^{2} h$ $= \frac{2 \sqrt{2}}{3} π r^{3}$	$π r (r + \sqrt{r^{2} + h^{2}})$ $= 4 π r^{2}$	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 794$
polobla	$\frac{2}{3} π r^{3}$	$3 π r^{2}$	${(\frac{16}{27})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 840$
valj $(h = 2 r)$	$π r^{2} h = 2 π r^{3}$	$2 π r (r + h) = 6 π r^{2}$	${(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 874$
svitek $(R = r)$	$2 π^{2} R r^{2} = 2 π^{2} r^{3}$	$4 π^{2} R r = 4 π^{2} r^{2}$	${(\frac{9}{4 π})}^{\frac{1}{3}} \approx 0, 894$
sfera	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$	$1$
druge oblike
rombski triakontaeder	$4 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} s^{3}$	$12 \sqrt{5} s^{2}$	$\frac{π^{\frac{1}{3}} {(24 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}})}^{\frac{2}{3}}}{12 \sqrt{5}} \approx 0, 9609$
disdiakisni triakontaeder	$\frac{180}{11} (5 + 4 \sqrt{5}) s^{3}$	$\frac{180}{11} \sqrt{179 - 24 \sqrt{5}} s^{2}$	$\frac{{({(5 + 4 \sqrt{5})}^{2} \frac{11 π}{5})}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{179 - 24 \sqrt{5}}} \approx 0, 9857$