Ogled vira Solenoidalno polje

{{short description|vektorsko polje z ničelno divergenco}}

[[slika:Solenoidal vector field 1.svg|thumb|right|220px|Zgled [[graf funkcije|grafa]] solenoidalnega [[vektorsko polje|vektorskega polja]] <math> \vec{\mathbf{v}}(x, y) = (y, -x) \!\, </math>]]

'''Solenoidalno pólje''' ali tudi cevasto polje{{r|anci-1988}} in brezizvirno polje{{efn|name="op0"}} je v [[vektorska analiza|vektorski analizi]] [[vektorsko polje]] z [[divergenca|divergenco]] enako nič v vseh [[točka (geometrija)|točkah]] polja. Takšno polje nima [[izvir]]ov ali [[ponor]]ov.{{efn|name="op1"}}

Če je <math> \mathbf{\vec{w}}(\mathbf{\vec{r}}) \!\, </math> gostota vrtincev solenoidalnega polja <math> \vec{\mathbf{v}} \!\,</math>, je:

: <math> \nabla \cdot \vec{\mathbf{v}} = 0 \!\, , </math>
: <math> \nabla \times \vec{\mathbf{v}} = \vec{\mathbf{w}} (\vec{\mathbf{r}}) \!\, . </math>

Gostota vrtincev ne more biti poljubno vektorsko polje, ker mora zadoščati pogoju <math> \nabla \cdot \vec{\mathbf{w}} = 0 \!\,</math>. 

Če se vzame:

: <math> \mathbf{\vec{v}} (\mathbf{\vec{r}}) = \nabla \times \mathbf{\vec{A}} (\mathbf{\vec{r}}) \!\, , </math>
: <math>\nabla \cdot \mathbf{\vec{A}} = 0 \!\, , </math>

velja:

: <math> \nabla \times \nabla \times \mathbf{\vec{A}} = \mathbf{\vec{w}} \!\, , </math>

in zaradi:

: (<math> \nabla \times \nabla \times \mathbf{\vec{v}} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{\vec{v}}) - \nabla^{2} \mathbf{\vec{v}}) \!\, , </math>
: <math> \nabla \nabla \cdot \mathbf{\vec{A}} - \nabla^{2} \mathbf{\vec{A}} = \mathbf{\vec{w}} \!\, , </math>

in zato:

: <math> \nabla^{2} \mathbf{\vec{A}} = - \mathbf{\vec{w}} \!\, . </math>

Vekotorsko polje <math> \mathbf{\vec{A}}(\mathbf{\vec{r}})</math> formalno zadosti [[Poissonova enačba|Poissonovi diferencialni enačbi]], podobno kot [[potencial]] [[potencialno vektorsko polje|nevrtinčastega polja]], zato se imenuje [[vektorski potencial]] vektorskega polja. Zveza med poljem, vektorskim potencialom in gostoto vrtincev je:

: <math> \mathbf{\vec{v}} = \nabla \times \mathbf{\vec{A}} \!\, </math>
in:

: <math> \mathbf{\vec{A}} = \frac{1}{4 \pi} \iiint \frac{\mathbf{\vec{w}}(\mathbf{\vec{r}}^{*})}{| \mathbf{\vec{r}} - \mathbf{\vec{r}}^{*} |} \, \mathrm{d} v(\mathbf{\vec{r}}^{*}) \!\, , </math>

kjer [[integral|integriranje]] poteka po celotnem [[prostor]]u.

[[izrek o divergenci|Divergenčni izrek]] da enakovredno [[integral]]sko definicijo solenoidalnega polja: za poljubno sklenjeno [[ploskev]] mora skupni pretok skozi njo biti enak nič:

: <math> \oiint \mathbf{\vec{v}} \cdot \, \mathrm{d} \mathbf{\vec{S}} = 0  \!\, </math>

kjer je <math> \mathrm{d} \mathbf{\vec{S}} \!\, </math> navzven usmerjena [[normala]] na vsak [[ploskovni element]].

== Etimologija ==

Beseda ''solenoidalen'' izvira iz grške besede za ''[[solenoid]]'' – σωληνοειδές (sōlēnoeidēs), kar pomeni ''cevast'', ''v obliki [[cev]]i'', ''kot v cevi'', ki vsebuje besedo σωλην (sōlēn) – ''cev''. V tem kontekstu to pomeni fiksiranje prostornine za model [[tekočina|tekoče]] [[kapljevina|kapljevine]], odsotnost [[vir]]ov in ponorov (kot pri [[pretok]]u v cevi, kjer se nova kapljevina niti ne pojavi niti ne izgine).

== Zgledi ==

* [[gostota magnetnega polja]] <math> \mathbf{\vec{B}} \!\, </math> (glej [[Gaussov zakon za magnetno polje]]),
* [[Lagrangeev odvod|hitrostno]] polje [[nestisljiva tekočina|toka nestisljive tekočine]], sledi iz [[kontinuitetna enačba|kontinuitetne enačbe]] pri <math> \partial\rho / \partial t = 0 \!\, </math>,
* [[vrtinčnost|vrtinčno]] polje,
* [[jakost električnega polja]] <math> \mathbf{\vec{E}} \!\, </math> v nevtralnih območjih, kjer ni virov ([[električni naboj|električnih nabojev]], <math>\rho_{e} = 0 \!\, </math>). Da je <math> \mathbf{\vec{E}} \!\, </math> solenoidalno polje, je potrebna odsotnost (ali medsebojna kompenzacija) prostih in vezanih električnih nabojev. Da je [[gostota električnega polja]] <math> \mathbf{\vec{D}} \!\, </math> solenoidalno polje, pa zadostuje odsotnost samo prostih električnih nabojev.
* [[gostota električnega toka]] <math> \mathbf{\vec{j}} \!\, </math>, kje se [[gostota naboja]] ne spreminja <math> \partial \rho_{e} / \partial t = 0 \!\, </math>, kar izhaja iz kontinuitetne enačbe,
* [[magnetni vektorski potencial]] <math> \mathbf{\vec{A}} \!\, </math> v [[Coulombova umeritev|Coulombovi umeritvi]].

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* [[funkcija toka]]
* [[potencialno vektorsko polje]] (''[[konservativno vektorsko polje]]'')
* [[Helmholtzev dekompozicijski izrek]]
{{div col end}}

== Opombe ==

{{seznam opomb|refs=
{{efn|name="op0"|Tudi ''nestisljivo vektorsko polje'', ''brezdivergenčno vektorsko polje'', ''prečno (transverzalno) vektorsko polje''.}}
{{efn|name="op1"|Ta izjava ne pomeni, da morajo biti poljske črte solenoidalnega polja sklenjene, niti da se ne morejo začeti ali končati. Za podrobno razpravo o temi glej {{citat|last1= Slepian|first1= J.|title= Lines of Force in Electric and Magnetic Fields|journal= [[American Journal of Physics]]|date= 1951|volume= 19|issue= |pages= 87-90}} in {{citat|last1= Zilberti|first1= L|title= The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines|journal= IEEE Magnetics Letters|date= 2017|volume= 8|issue= art. 1306005}}}}
}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="anci-1988">{{sktxt|Ančikov|1988|pp=27}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Ančikov|first1= A. M.|title= Основы векторного и тензорного анализа / под ред. проф. В. Г. Кайгородова|date= 1988|publisher= Izdatelьstvo Kazanskogo univerziteta|location= 420008, Kazan, ulica Lenina 18|pages= 130|url= http://eb.arsu.kz:81/pdfview.aspx?lang=ru&IdP=255&kod=4420}}{{Slepa povezava|date=december 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{citat|last1= Bronštejn|first1= Ilja Nikolajevič|authorlink1= Ilja Nikolajevič Bronštejn|last2= Semendjajev|first2= Konstantin Aldolfovič|authorlink2= Konstantin Adolfovič Semendjajev|title= [[Matematični priročnik (Bronštejn, Semendjajev)|Matematični priročnik]]|date= 1963|publisher= [[Tehniška založba Slovenije]]|location= Ljubljana|pages= 525|cobiss= 191797}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=SolenoidalField|title=SolenoidalField.html|access-date= 2023-10-18}} {{v jeziku|en}}

[[Kategorija:Vektorski račun]]
[[Kategorija:Dinamika tekočin]]