Solenoidalno polje

Zgled grafa solenoidalnega vektorskega polja $\overrightarrow{𝐯}(x,y)=(y,-x)$

Solenoidalno pólje ali tudi cevasto poljePredloga:R in brezizvirno poljePredloga:Efn je v vektorski analizi vektorsko polje z divergenco enako nič v vseh točkah polja. Takšno polje nima izvirov ali ponorov.Predloga:Efn

Če je $\overrightarrow{𝐰}(\overrightarrow{𝐫})$ gostota vrtincev solenoidalnega polja $\overrightarrow{𝐯}$, je:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{𝐯}=0,$

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{𝐯}=\overrightarrow{𝐰}(\overrightarrow{𝐫}).$

Gostota vrtincev ne more biti poljubno vektorsko polje, ker mora zadoščati pogoju $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{𝐰}=0$.

Če se vzame:

$\overrightarrow{𝐯}(\overrightarrow{𝐫})=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{𝐀}(\overrightarrow{𝐫}),$

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{𝐀}=0,$

velja:

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{𝐀}=\overrightarrow{𝐰},$

in zaradi:

($\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{𝐯}=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{𝐯})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{𝐯}),$

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{𝐀}-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{𝐀}=\overrightarrow{𝐰},$

in zato:

${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{𝐀}=-\overrightarrow{𝐰}.$

Vekotorsko polje $\overrightarrow{𝐀}(\overrightarrow{𝐫})$ formalno zadosti Poissonovi diferencialni enačbi, podobno kot potencial nevrtinčastega polja, zato se imenuje vektorski potencial vektorskega polja. Zveza med poljem, vektorskim potencialom in gostoto vrtincev je:

$\overrightarrow{𝐯}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{𝐀}$

in:

$\overrightarrow{𝐀}=\frac{1}{4\pi }\iiint \frac{\overrightarrow{𝐰}({\overrightarrow{𝐫}}^{*})}{|\overrightarrow{𝐫}-{\overrightarrow{𝐫}}^{*}|}\mathrm{d}v({\overrightarrow{𝐫}}^{*}),$

kjer integriranje poteka po celotnem prostoru.

Divergenčni izrek da enakovredno integralsko definicijo solenoidalnega polja: za poljubno sklenjeno ploskev mora skupni pretok skozi njo biti enak nič:

$\text{∯}\overrightarrow{𝐯}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{𝐒}=0$

kjer je $\mathrm{d}\overrightarrow{𝐒}$ navzven usmerjena normala na vsak ploskovni element.

Etimologija

Beseda solenoidalen izvira iz grške besede za solenoid – σωληνοειδές (sōlēnoeidēs), kar pomeni cevast, v obliki cevi, kot v cevi, ki vsebuje besedo σωλην (sōlēn) – cev. V tem kontekstu to pomeni fiksiranje prostornine za model tekoče kapljevine, odsotnost virov in ponorov (kot pri pretoku v cevi, kjer se nova kapljevina niti ne pojavi niti ne izgine).

Zgledi

• gostota magnetnega polja $\overrightarrow{𝐁}$ (glej Gaussov zakon za magnetno polje),
• hitrostno polje toka nestisljive tekočine, sledi iz kontinuitetne enačbe pri $\partial \rho /\partial t=0$,
• vrtinčno polje,
• jakost električnega polja $\overrightarrow{𝐄}$ v nevtralnih območjih, kjer ni virov (električnih nabojev, ${\rho }_e=0$). Da je $\overrightarrow{𝐄}$ solenoidalno polje, je potrebna odsotnost (ali medsebojna kompenzacija) prostih in vezanih električnih nabojev. Da je gostota električnega polja $\overrightarrow{𝐃}$ solenoidalno polje, pa zadostuje odsotnost samo prostih električnih nabojev.
• gostota električnega toka $\overrightarrow{𝐣}$, kje se gostota naboja ne spreminja $\partial {\rho }_e/\partial t=0$, kar izhaja iz kontinuitetne enačbe,
• magnetni vektorski potencial $\overrightarrow{𝐀}$ v Coulombovi umeritvi.

Glej tudi

• funkcija toka
• potencialno vektorsko polje (konservativno vektorsko polje)
• Helmholtzev dekompozicijski izrek

Viri

• Predloga:CitatPredloga:Slepa povezava
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld Predloga:V jeziku