Cartanova matrika

Cartanova matrika je v matematiki kvadratna matrika, ki ima celoštevilčne elemente (glej definicijo).

Imenuje se po francoskem matematiku Élieju Josephu Cartanu (1869 – 1951). Cartanove matrike je v okviru Liejevih algeber prvi proučeval nemški matematik Wilhelm Karl Joseph Killing (1847 – 1923).

Definicija

Posplošena Cartanova matrika je kvadratna matrika $A=(a_{ij})$ z elementi, ki so cela števila tako, da je

• diagonalni elementi so enaki $a_{ii}=2$
• nediagonalni elementi pa imajo vrednosti $a_{ij}\le 0$
• elementi $a_{ij}=0$ samo, če in samo če je $a_{ji}=0$
• matriko $A$ lahko razčlenimo kot $DS$, kjer je $D$ diagonalna matrika in $S$ simetrična matrika.

Značilnosti

Vedno lahko izberemo matriko $D$ tako, da imajo diagonalni elementi pozitivne vrednosti. V tem primeru pravimo, da je matrika $A$ Cartanova matrika, če je v zgornji razčlembi matrika $S$ pozitivno definitna.

Cartanova matrika v enostavni Liejevi algebri je matrika katere elementi so skalarni produkti

$a_{ij}=2\frac{(r_i,r_j)}{(r_i,r_i)}$

kjer je

• $r_i$ enostavni koren algebre

Zunanje povezave

• Cartanova matrika na MathWorld Predloga:Ikona en
• Cartanova matrika Predloga:Webarchive na PlanetMath Predloga:Ikona en
• Razširjena Cartanova matrika Predloga:Ikona en
• Cartanova matrika Predloga:Ikona en