Cartanova matrika

Cartanova matrika je v matematiki kvadratna matrika, ki ima celoštevilčne elemente (glej definicijo).

Imenuje se po francoskem matematiku Élieju Josephu Cartanu (1869 – 1951). Cartanove matrike je v okviru Liejevih algeber prvi proučeval nemški matematik Wilhelm Karl Joseph Killing (1847 – 1923).

Definicija

Posplošena Cartanova matrika je kvadratna matrika $A = (a_{i j})$ z elementi, ki so cela števila tako, da je

diagonalni elementi so enaki $a_{i i} = 2$
nediagonalni elementi pa imajo vrednosti $a_{i j} \leq 0$
elementi $a_{i j} = 0$ samo, če in samo če je $a_{j i} = 0$
matriko $A$ lahko razčlenimo kot $D S$ , kjer je $D$ diagonalna matrika in $S$ simetrična matrika.

Značilnosti

Vedno lahko izberemo matriko $D$ tako, da imajo diagonalni elementi pozitivne vrednosti. V tem primeru pravimo, da je matrika $A$ Cartanova matrika, če je v zgornji razčlembi matrika $S$ pozitivno definitna.

Cartanova matrika v enostavni Liejevi algebri je matrika katere elementi so skalarni produkti

a_{i j} = 2 \frac{(r_{i}, r_{j})}{(r_{i}, r_{i})}

kjer je

$r_{i}$ enostavni koren algebre

Zunanje povezave

Cartanova matrika

Definicija

Značilnosti

Zunanje povezave

Navigacijski meni

Iskanje