Kvadratno iracionalno število

Kvadrátno iracionálno števílo (redkeje tudi kvadrátni súrd) je v matematiki algebrsko iracionalno število, ki je rešitev kakšne kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti. Ker se lahko iz kvadratne enačbe ulomke poniči z množenjem obeh strani z njihovima skupnima imenovalcema, se lahko reče, da je kvadratno iracionalno število koren kvadratne enačbe:

$k{x}^2+mx+n=0$

s celimi koeficienti $k$, $m$ in $n$ in z od nič različno diskriminanto $m^2-4kn$. Kvadratna iracionalna števila so oblike:

$\sqrt{c},(c>1)$

za cela števila c deljiva brez kvadrata. Vsako kvadratno iracionalno število pa se lahko v splošnem zapiše kot:

$\frac{a\pm b\sqrt{c}}{d},a,b,c,d\in \mathbb{Z},(a,b>0,c>1,d\ne 0,d|a^2-c),$

kjer $c$ ni popolni kvadrat.

To pomeni, da je moč njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega števno neskončna.

Kvadratna iracionalna števila z danim $c$ tvorijo obseg, ki se imenuje kvadratni obseg.

Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil

Enočlene oblike

Kvadratna iracionalna števila so posebna števila, še posebej v povezavi z verižnimi ulomki. Za vsa in edino za kvadratna iracionalna števila je razvoj v verižni ulomek periodičen. Na primer števila deljiva brez kvadrata:

$\sqrt{2}=1,4142\dots =[1;2,\dots ],$

$\sqrt{3}=1,7320\dots =[1;1,2,\dots ],$

$\sqrt{5}=2,2360\dots =[2;4,\dots ],$

$\sqrt{6}=2,4494\dots =[2;2,4,\dots ],$

$\sqrt{7}=2,6457\dots =[2;1,1,1,4,\dots ],$

$\sqrt{10}=3,1622\dots =[3;6,\dots ],$

$\sqrt{11}=3,3166\dots =[3;3,6,\dots ],$

$\sqrt{13}=3,6055\dots =[3;1,1,1,1,6,\dots ],$

$\sqrt{14}=3,7416\dots =[3;1,2,1,6\dots ],$

$\sqrt{15}=3,8729\dots =[3;1,6,\dots ].$

ali števila deljiva s kvadratom, ki niso kvadratna števila Predloga:OEIS:

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}=2,8284\dots =[2;1,4,\dots ],$

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}=3,4641\dots =[3;2,6,\dots ],$

$\sqrt{18}=3\sqrt{2}=4,2426\dots =[4;4,8,\dots ],$

$\sqrt{20}=2\sqrt{5}=4,4721\dots =[4;2,8,\dots ].$

Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, palindromni niz števk:

• prazen za števila oblike $c=n^2+1;n>0$ Predloga:OEIS: $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{17}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{37}$, $\sqrt{50}$, $\sqrt{65}$, ..., od katerih so praštevila Predloga:OEIS: $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{17}$, $\sqrt{37}$, $\sqrt{101}$, $\sqrt{197}$, $\sqrt{257}$, ... in sestavljena Predloga:OEIS: $\sqrt{10}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{50}$, $\sqrt{65}$, $\sqrt{82}$, $\sqrt{122}$, $\sqrt{145}$, $\sqrt{170}$, ...

Za ta števila tako velja:

$\sqrt{c}=[a_0;\overline{2a_0}].$

• na primer 1 za $\sqrt{3}$, 1,1,1 za $\sqrt{7}$, 1,2,1 za $\sqrt{14}$, ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike $n^2+1$, imajo neprazen niz Predloga:OEIS:

$\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{19}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{29}$, $\sqrt{31}$, $\sqrt{41}$, $\sqrt{43}$, $\sqrt{47}$, $\sqrt{53}$, $\sqrt{59}$, $\sqrt{61}$, $\sqrt{67}$, ...

V splošnem tako velja:

$\sqrt{c}=[a_0;\overline{a_1,a_2,\dots ,a_2,a_1,2a_0}].$

Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom Predloga:OEIS:

$\sqrt{50}=7,0710\dots =[7;\overline{2\cdot 7}],$

$\sqrt{325}=18,0277\dots =[18;\overline{2\cdot 18}],$

$\sqrt{1025}=32,0156\dots =[32;\overline{2\cdot 32}],$

$\sqrt{1445}=38,0131\dots =[38;\overline{2\cdot 38}],$

itd.

Števila, katerih perioda se začne:

• z 2 Predloga:OEIS: $\sqrt{2}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{19}$, $\sqrt{20}$, $\sqrt{29}$, $\sqrt{30}$, ...,

• s 3 Predloga:OEIS: $\sqrt{11}$, $\sqrt{28}$, $\sqrt{40}$, $\sqrt{53}$, $\sqrt{69}$, $\sqrt{86}$, $\sqrt{87}$, ...,

• s 4 Predloga:OEIS: $\sqrt{5}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{39}$, $\sqrt{52}$, $\sqrt{68}$, $\sqrt{85}$, $\sqrt{105}$, ...,

• s 5 Predloga:OEIS: $\sqrt{27}$, $\sqrt{67}$, $\sqrt{104}$, $\sqrt{1255}$, $\sqrt{174}$, $\sqrt{201}$, $\sqrt{231}$, ...,

• s 6 Predloga:OEIS: $\sqrt{10}$, $\sqrt{38}$, $\sqrt{84}$, $\sqrt{103}$, $\sqrt{148}$, $\sqrt{173}$, $\sqrt{230}$, ...,

• s 7 Predloga:OEIS: $\sqrt{51}$, $\sqrt{124}$, $\sqrt{200}$, $\sqrt{229}$, $\sqrt{329}$, $\sqrt{366}$, $\sqrt{447}$, ...,

• z 8 Predloga:OEIS: $\sqrt{17}$, $\sqrt{66}$, $\sqrt{147}$, $\sqrt{172}$, $\sqrt{260}$, $\sqrt{293}$, $\sqrt{405}$, ...,

• z 9 Predloga:OEIS: $\sqrt{83}$, $\sqrt{199}$, $\sqrt{328}$, $\sqrt{365}$, $\sqrt{534}$, $\sqrt{581}$, $\sqrt{735}$, ...

Dvočlene oblike

Druga kvadratna iracionalna števila, kjer $c$ ni kvadratno število:

$(1+\sqrt{2})/2=1,2071\dots =[1;4,1,\dots ],$

$(1+\sqrt{3})/2=1,3660\dots =[1;2,1,\dots ],$

$(1+\sqrt{5})/2=1,6180\dots =[1;1,\dots ]\equiv [1;\bar{1}]$ (število zlatega reza),

$(1+\sqrt{2})/3=0,8047\dots =[0;1,\overline{4,8}],$

$(1+\sqrt{3})/3=0,9106\dots =[0;1,\overline{10,5}],$

$(1+\sqrt{5})/3=1,0786\dots =[1;\overline{12,1,2,2,2,1}],$

$(1+\sqrt{2})/5=0,4828\dots =[0;2,\overline{1,4}],$

$(1+\sqrt{3})/5=0,5464\dots =[0;1,\overline{1,4,1,7}],$

$(1+\sqrt{5})/5=0,6472\dots =[0;1,\overline{1,1,1,5,22,5}],$

$(1+\sqrt{5})/6=0,5393\dots =[0;1,\overline{1,5}],$

$(1+\sqrt{5})/7=0,4622\dots =[0;2,\overline{6,7,1,1,1,30,1,1,1,7}],$

$(1+\sqrt{5})/8=0,4045\dots =[0;2,\overline{2,8}],$

$(1+\sqrt{5})/9=0,3595\dots =[0;2,\overline{1,3,1,1,3,9}],$

$(1+\sqrt{5})/10=0,3236\dots =[0;3,\overline{11}],$

$(2+\sqrt{5})/2=2,1180\dots =[2;\overline{8,2}],$

$(42+\sqrt{2})/42=1,0336\dots =[1;29,\overline{1,2,3,6,3,2,1,58}],$

$(42+\sqrt{42})/42=1,1543\dots =[1;6,\overline{2,12}],$

$(4242+\sqrt{4242})/4242=1,0153\dots =[1;65,\overline{7,1,1,1,8,1,1,1,7,130}]...$

Če je $c$ kvadratno število in $d>1$, je dano število racionalno, njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer:

$(2+\sqrt{4})/5=4/5=0,8=[0;1,4],$

$(41+\sqrt{1764})/42=83/42=1,9\overline{761904}=[1;1,41].$

To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala Lagrange (1770) in Legendre, pred njima pa je obrat dokazal Euler z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov – če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ.

Splošne oblike

$(1+2\sqrt{2})/2=1,9142\dots =[\overline{1;1,10,1}],$

$(1+2\sqrt{3})/2=2,2320\dots =[2;\overline{4,3}],$

$(1+2\sqrt{2})/3=1,2761\dots =[\overline{1;3,1,1,1,1}],$

$(1+2\sqrt{3})/3=1,4880\dots =[\overline{1;2,20,2,1,1,4,1}],$

$(1+3\sqrt{2})/2=2,6213\dots =[2;\overline{1,1,1,1,1,3}],$

$(1+3\sqrt{3})/2=3,0980\dots =[3;\overline{10,5}],$

$(1+3\sqrt{2})/3=1,7475\dots =[1;\overline{1,2,1,24,1,2,1,2,12,2}],$

$(1+3\sqrt{3})/3=2,0653\dots =[2;\overline{15,3,2,1,1,30,1,1,2,3}],$

$(1+2\sqrt{3})/4=1,1160\dots =[\overline{1;8,1,1,1,1,1,1}],$

$(2+3\sqrt{5})/7=1,2440\dots =[\overline{1;4,10,4,1,1,2,18,2,1}]...$

Druge oblike

Poseben primer kvadratnih iracionalnih števil so rešitve Fermat-Pellove enačbe.

Glej tudi

• obseg algebrskih števil
• periodični verižni ulomek
• omejeni delni količniki
• kvadratno celo število

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Računalo verižnih ulomkov za kvadratna iracionalna števila Predloga:Ikona en
• Dokaz, da e ni kvadratno iracionalno število Predloga:Webarchive na PlanetMath Predloga:Ikona en