Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti ali porazdelitvena funkcija (oznaka cdf iz cumulative distribution function) je v verjetnostnem računu funkcija, ki opisuje verjetnostno porazdelitev realne slučajne spremenljivke $X$. Označuje se jo z $F(x)$.

Za realno število je zbirna porazdelitvena funkcija določena z:

$x\mapsto F_X(x)=\mathrm{P}(X\le x),$

kjer $X\le x$ pomeni verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost, ki je manjša ali enaka vrednosti $x$. Verjetnost, da slučajna spremenljivka leži v intervalu $(a,b]$ je torej enaka:

$F_X(b)-F_X(a)$, če je $a<b$.

Z uporabo gostote verjetnosti $f(t)$ se lahko zapiše:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$

Značilnosti pri diskretni spremenljivki

Če je $X$ diskretna slučajna spremenljivka, ki lahko zavzame vrednosti $x_1,x_2,x_3,$ ... z verjetnostmi $p_1=P(x_1)$, potem ima funkcija nezveznosti v točkah $x_i$ in je konstantna med vrednostmi:

$F(x)=\mathrm{P}(X\le x)=\sum _{x_i\le x}\mathrm{P}(X=x_i)=\sum _{x_i\le x}p(x_i).$

Velja tudi $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to -\mathrm{\infty }}{F}_X(x)=0$ in $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}{F}_X(x)=1$.

Primer

Mečemo igralno kocko. Naj bo slučajna spremenljivka $X$ definirana kot število padlih pik. Ker je kocka poštena, ima vsaka možna vrednost $X$ enako verjetnost, torej:

$P(X=k)=\frac{1}{6},k\in \{1,2,3,4,5,6\}$

Za različne vrednosti porazdelitvene funkcije $F_X(x)$ dobimo:

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<1,\\ \frac{1}{6},& 1\le x<2,\\ \frac{2}{6},& 2\le x<3,\\ \frac{3}{6},& 3\le x<4,\\ \frac{4}{6},& 4\le x<5,\\ \frac{5}{6},& 5\le x<6,\\ 1,& x\ge 6.\end{array}$

Značilnosti pri zvezni spremenljivki

Kadar je spremenljivka $X$ zvezna slučajna spremenljivka, je tudi $F$ absolutno zvezna in obstaja po Lebesguu integrabilna funkcija $f(x)$ tako, da je:

$F(b)-F(a)=\mathrm{P}(a\le X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Verjetnost, da spremenljivka $X$ zavzame točno vrednost $b$, se lahko določi z:

$\mathrm{P}(X=b)=F(b)-\underset{x\to b^{-}}{\lim }F(x).$