Simetrična matrika

Simetrična matrika je kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic), ki je enaka svoji transponirani matriki. To lahko zapišemo kot

$A=A^{\mathrm{\top }}.$.

Elementi simetrične matrike so enaki glede na glavno diagonalo, ki poteka od levega zgornjega dela do desnega spodnjega dela). Za elemente simetrične matrike velja

$a_{ij}=a_{ji}$

kjer smo z $a_{mn}$ označili element v m-ti vrstici in n-tem stolpcu.

Primeri simetričnih matrik

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 3& 2& 6\\ 0& 6& 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ 5& 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& -5\\ 3& -5& 6\end{array}\right].$

Lastnosti

Simetrična matrika je vedno kvadratna (ima isto število stolpcev in vrstic). Za poljubno simetrično matriko $A$ z realnimi elementi velja

• vedno ima realne lastne vrednosti
• njeni lastni vektorji, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim, so ortogonalni drug na drugega
• iz njenih lastnih vektorjev lahko vedno zgradimo ortonormirano bazo
• matriko $A$ lahko vedno pretvorimo v diagonalno matriko $A=QD{Q}^T$

kjer je

• $Q$ ortogonalna matrika, katere stolpci sestavljajo bazo iz lastnih vektorjev.
• $D$ diagonalna matrika z lastnimi vrednostmi matrike $A$ na diagonali.
• če obstaja matrika $A^{-1}$, potem je ta matrika simetrična, če je $A$ simetrična matrika.

Zunanje povezave

• Simetrična matrika na MathWorld Predloga:Ikona en
• simetrične matrike Predloga:Ikona en