Transponirana matrika

Transponirana matrika (oznaka $A^{\mathrm{T}}$, včasih tudi ${\mathrm{t}}^{}A$) je matrika, ki nastane iz matrike $A$ pri eni izmed naslednjih enakovrednih operacij:

• zapišemo vrstice matrike $A$ kot stolpce matrike $A^{\mathrm{T}}$
• zapišemo stolpce matrike $A$ kot vrstice matrike $A^{\mathrm{T}}$
• zrcalimo matriko $A$ preko glavne diagonale
• zavrtimo matriko $A$ za 90º v smeri gibanja urinega kazalca in zrcalimo sliko vodoravno, da dobimo $A^{\mathrm{T}}$.

To pomeni da vsi $a_{ij}$ postanejo $a_{ji}$. Postopek zamenjave vrstic in stolpcev se imenuje transponiranje matrike in je zgled enočlene operacije.

Zgledi

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Značilnosti

Za matriki $A$, $B$ in skalar $c$ so znane naslednje značilnosti transponiranja matrik:

• ${\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=𝐀$

• $(𝐀+𝐁{)}^{\mathrm{T}}={𝐀}^{\mathrm{T}}+{𝐁}^{\mathrm{T}}$

Transpozicija vsote matrik je vsota transponiranih matrik.

• ${\left(𝐀𝐁\right)}^{\mathrm{T}}={𝐁}^{\mathrm{T}}{𝐀}^{\mathrm{T}}$

Opozorilo: vrstni red množiteljev je obrnjen. Iz tega lahko zaključimo, da je kvadratna matrika $A$ obrnljiva matrika (obstoja inverzna), samo, če je obrnljiva tudi $A^T$, v tem primeru je $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$

• $(c𝐀{)}^{\mathrm{T}}=c{𝐀}^{\mathrm{T}}$

Transponiranje skalarja nam da isti skalar.

• $\det ({𝐀}^{\mathrm{T}})=\det (𝐀)$

Determinanta kvadratne matrike je enaka determinanti transponirane.

• Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ju določata stolpca ($a$ in $b$) se izračuna kot

$𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^{\mathrm{T}}𝐛,$

kjer je uporabljen Einsteinov zapis za $a_j{b}^j$

• $({𝐀}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=({𝐀}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$

Transponirana matrika obrnljive matrike (inverzne) je tudi obrnljiva matrika, njena obrnjena matrika je transponirana obrnjene originalne matrike.

• Če je $A$ kvadratna matrika, potem so njene lastne vrednosti enake lastnim vrednostim njene transponirane matrike.

Posebne transponirane matrike

• Kvadratna matrika, katere transponirana je enaka sama sebi, je simetrična matrika

${𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀.$

• Kvadratna matrika, katere transponirana je tudi obrnjena, se imenuje ortogonalna matrika. To pomeni da je matrika $G$ ortogonalna, če je

${𝐆𝐆}^{\mathrm{T}}={𝐆}^{\mathrm{T}}𝐆={𝐈}_n,$, kjer je $I_n$ enotska matrika za katero velja $I^T=I^{-1}$

• Kvadratna matrika, katere transponirana, je enaka negativni, je poševnosimetrična matrika, to pomeni, da je $A$ poševnosimetrična, če je

${𝐀}^{\mathrm{T}}=-𝐀.$

• Konjugirano transponirana matrika kompleksne matrike $A$ , ki jo zapišemo kot $A^{*}$, se dobi s transponiranjem matrike $A$ in spremembo vseh elementov v konjugirano kompleksne vrednosti

${𝐀}^{*}=(\overline{𝐀}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{({𝐀}^{\mathrm{T}})}.$

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld