Walsheva matrika

Walsheva matrika (oznaka $H$) je kvadratna matrika, ki ima za elemente samo vrednosti +1 in -1. Značilnost Walsheve matrike je tudi, da je skalarni produkt dveh različnih vrstic ali stolpcev enak 0. Vsaka vrstica odgovarja vrednostim Walsheve funkcije. Pogosto Walshevo matriko enačijo s Hadamardovo matriko, oziroma med njima ne delajo razlike.

Imenuje se po ameriškem matematiku Josephu Leonardu Walshu (1895 – 1973), ki jo je prvi predlagal v letu 1923.

Definicija

$H(2^0)=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],$

$H(2^1)=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],$

$H(2^2)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right],$

Splošna oblika pa je

$H(2^k)=\left[\begin{array}{cc}H(2^{k-1})& H(2^{k-1})\\ H(2^{k-1})& -H(2^{k-1})\end{array}\right]=H(2)\otimes H(2^{k-1}),$

za vse $2\le k\text{kjer je}kϵN$
in

• $\otimes$ pomeni Kroneckerjev produkt

Matrika, ki jo dobimo z uporabo rekurzivnega obrazca, se imenuje naravna urejenost v Hadamardovih matrikah. Kadar pa preuredimo zaporedje vrstic tako, da je zaporedje sprememb predznakov elementov rastoče, dobimo matriko, ki je zaporedno urejena. Tako za zgornjo matriko $H(2^2)$ dobimo matriko, ki ima nasledno obliko (označena je z $W(4)$)

$W(4)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right]$

V tej matriki je v prvi vrstici ni sprememb predznakov, v drugi je ena sprememba, v tretji dve, v četrti pa 3 spremembe predznakov v vrednostih elementov matrike.

Viri

• Predloga:Navedi knjigo