Kroneckerjev produkt

Kroneckerjev produkt (oznaka $\otimes$) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta se ne sme zamenjevati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823–1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

Definicija

Naj bo $A$ matrika z razsežnostjo $m\times n$ in naj bo $B$ z razsežnostjo $p\times q$, potem je Kroneckerjev produkt $A\otimes B$ bločna matrika z razsežnostjo $mp\times nq$:

$𝐀\otimes 𝐁=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right].$.

Bolj točno je to enako:

$𝐀\otimes 𝐁=\left[\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right]$.

Če sta $A$ in $B$ linearni transformaciji $V_1\to W_1$ in $V_2\to W_2$, potem je $A\otimes B$ tenzorski produkt dveh preslikav $V_1\otimes W_2\to W_1\otimes W_2$.

Zgledi

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\cdot \left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]& 2\cdot \left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]\\ \\ 3\cdot \left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]& 4\cdot \left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}5& 6& 10& 12\\ 7& 8& 14& 16\\ 15& 18& 20& 24\\ 21& 24& 28& 32\end{array}\right]$.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]& 3\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]& 2\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\\ \\ 1\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]& 0\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]& 0\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\\ \\ 1\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]& 2\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]& 2\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}0& 5& 0& 15& 0& 10\\ 5& 0& 15& 0& 10& 0\\ 1& 1& 3& 3& 2& 2\\ 0& 5& 0& 0& 0& 0\\ 5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 10& 0& 10\\ 5& 0& 10& 0& 10& 0\\ 1& 1& 2& 2& 2& 2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\cdot 0& 1\cdot 5& 2\cdot 0& 2\cdot 5\\ 1\cdot 6& 1\cdot 7& 2\cdot 6& 2\cdot 7\\ 3\cdot 0& 3\cdot 5& 4\cdot 0& 4\cdot 5\\ 3\cdot 6& 3\cdot 7& 4\cdot 6& 4\cdot 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 5& 0& 10\\ 6& 7& 12& 14\\ 0& 15& 0& 20\\ 18& 21& 24& 28\end{array}\right]$.

Značilnosti

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta:

• $𝐀\otimes (𝐁+𝐂)=𝐀\otimes 𝐁+𝐀\otimes 𝐂,$
• $(𝐀+𝐁)\otimes 𝐂=𝐀\otimes 𝐂+𝐁\otimes 𝐂,$
• $(k𝐀)\otimes 𝐁=𝐀\otimes (k𝐁)=k(𝐀\otimes 𝐁),$
• $(𝐀\otimes 𝐁)\otimes 𝐂=𝐀\otimes (𝐁\otimes 𝐂),$.

kjer je

• • $A$ matrika
  • $B$ matrika
  • $C$ matrika
  • $k$ skalar

Komutativnost

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki $A\otimes B$ in $B\otimes A$ različni. To se zapiše kot :$A\otimes B\ne B\otimes A$. Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstajata dve matriki $P$ in $Q$ tako, da je:

$𝐀\otimes 𝐁=𝐏(𝐁\otimes 𝐀)𝐐$.

Č e pa sta matriki $A$ in $B$ kvadratni, potem sta $A\otimes B$ ali pa $B\otimes A$ permutacijsko podobni, kar pomeni, da je $P=Q^T$.

Mešani produkt

Če so matrike $A$, $B$, $C$ in $D$ takšne, da se lahko določi $AC$ in $BD$, potem velja tudi:

$(𝐀\otimes 𝐁)(𝐂\otimes 𝐃)=𝐀𝐂\otimes 𝐁𝐃$.

Transponiranje

Transponiranje Kroneckerjevega produkta da:

$(A\otimes B{)}^T=A^T\otimes B^T$.

Druge značilnosti

• konjugiranje komplesne matrike da:

$\overline{A\otimes B}=\bar{A}\otimes \bar{B}$.

• adjungirana matrika je enaka:

$(A\otimes B{)}^{*}=A^{*}\otimes B^{*}$

• sled je za kvadratne matrike enaka:

$\mathrm{s}\mathrm{l}(A\otimes B)=\mathrm{s}\mathrm{l}(A)\cdot \mathrm{s}\mathrm{l}(B)$

• za rang velja:

$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A\otimes B)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A)\cdot \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(B)$

• če ima matrika $A$ razsežnost $n\times n$ in matrika $B$ razsežnost $m\times m$, potem za determinanto velja:

$\det (A\otimes B)={\det }^m(A){\det }^n(B)$

• če so $({\lambda }_i{)}_{i=1..n}$ lastne vrednosti matrike $A$ in $({\mu }_j{)}_{j=1..m}$ lastne vrednosti matrike $B$, potem so:

$({\lambda }_i{\mu }_j{)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=1..n}{j=1..m}}$ lastne vrednosti matrike $A\otimes B$

• kadar sta matriki $A$ in $B$ obrnljivi velja tudi:

$(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$

• kadar imajo matrike $A,B,C$ in $D$ razsežnosti:
  • $A:m\times n$
  • $B:p\times q$
  • $C:n\times r$
  • $D:q\times s$

in sta matriki $AC$ in $BD$ definirani, potem velja

$AC\otimes BD=>(A\otimes B)(C\otimes D)$

Viri

• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Kroneckerjev produkt na MathWorld Predloga:Ikona en
• Kroneckerjev produkt Predloga:Ikona en
• Kroneckerjev produkt na PlanethMath Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en