Norma operatorja

Norma operatorja (oznaka $||A|{|}_{op}$ za operator $A$) določa "velikost" linearnega operatorja (od tod tudi ime). To je norma, ki je definirana v prostoru omejenih linearnih operatorjev med dvema normiranima vektorskima prostoroma

Definicija

Če imamo dva normirana vektorska prostora $V$ in $W$ nad istim obsegom realnih ali kompleksnih števil, je preslikava $A:V\to W$ zvezna, če in samo, če velja

$\Vert Av\Vert \le c\Vert v\Vert \text{ za vse }v\in V$

kjer je

• $c$ realno število
• $A$ operator

Opomba: Norma na levi strani izhaja iz $W$, norma na desni strani pa iz $V$. Operator $A$ ne podaljšuje nobenega vektorja za $c$. Slike omejene množice pod takšnim zveznim operatorjem so tudi omejene. Zaradi tega so zvezni linearni operatorji znani tudi kot omejeni operatorji. Za merjenje velikosti operatorja $A$, je najboljše vzeti najmanjšo vrednost za $c$, tako, da zgornja trditev še velja za vse $v$ v $V$.

Normo lahko definiramo kot

$\Vert A{\Vert }_{op}=\min \{c\ge 0:\Vert Av\Vert \le c\Vert v\Vert \text{ za vse }v\in V\}$.

Lastnosti

Norma operatorja je norma prostora vseh omejenih operatorjev med $V$ in $W$.

$\Vert A{\Vert }_{op}\ge 0\text{ in }\Vert A{\Vert }_{op}=0\text{ če in samo, če je }A=0$

$\Vert aA{\Vert }_{op}=|a|\Vert A{\Vert }_{op}\text{ za vsak skalar }a,$

$\Vert A+B{\Vert }_{op}\le \Vert A{\Vert }_{op}+\Vert B{\Vert }_{op}$

$\Vert Av\Vert \le \Vert A{\Vert }_{op}\Vert v\Vert \text{ za vsak }v\in V$

Norma operatorja je tudi združljiva s kompozitumom in množenjem operatorjev. Če so $V,W,X$ trije normirani prostori z isto bazo in sta $A:V\to W$ ter $B:W\to X$ dva omejena operatorja, potem velja tudi

$\Vert BA{\Vert }_{op}\le \Vert B{\Vert }_{op}\Vert A{\Vert }_{op}.$

$\Vert BA{\Vert }_{op}\le \Vert B{\Vert }_{op}\Vert A{\Vert }_{op}.$.

Zunanje povezave

• Norma operatorja na MathWorld Predloga:Ikona en
• Norma operatorja Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Norma operatorja na WordiQ Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en