Matrika preslikave

Matrika preslikave (tudi transformacijska matrika ali matrika prehoda) je matrika, ki predstavlja linearno transformacijo iz $R^n$ v $R^m$ tako, da velja

$T(\overrightarrow{x})=𝐀\overrightarrow{x}$

kjer je

• $A$ transformacijska matrika z razsežnostjo $m\times n$
• $\overrightarrow{x}$ stolpični vektor z $n$ elementi
• $T$ preslikava vektorja

Matrika pomeni prehod med dvema končno razsežnima vektorskima prostoroma. To je prehod iz baze z vektorji ${\overrightarrow{a}}_1,\cdots ,{\overrightarrow{a}}_n$ v bazo ${\overrightarrow{b}}_1,\cdots ,{\overrightarrow{b}}_n$ Včasih prikažejo transformacijsko matriko tudi z uporabo vrstičnega vektorja

Primeri v dvorazsežni grafiki

Najbolj pogoste geometrijske preslikave obdržijo stalno izhodišče. Med te preslikave prištevamo vrtenje, povečevanje in zmanjševanje, striženje, zrcaljenje in pravokotno projekcijo.

Vrtenje

Vrtenje za kot $\theta$ v smeri, ki je nasprotna gibanju urinih kazalcev (glede na izhodišče) zapišemo v matrični obliki kot

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v nasprotni smeri urinih kazalcev:

$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

kjer je

• $x^{\prime }$ koordinata x po vrtenju
• $x$ koordinata x pred vrtenjem
• $\theta$ kot za katerega zavrtimo

Podobno je pri vrtenju v smeri gibanja urinih kazalcev

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v smeri urinih kazalcev:

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$

Povečevanje in zmanjševanje

Povečevanje in zmanjševanje pomeni spremembo merila v katerem prikazujemo sliko. Če označimo z $x^{\prime }$ in $y^{\prime }$ nove koordinate, potem velja $x^{\prime }=s_x\cdot x$ in $y^{\prime }=s_y\cdot y$

Matrika transformacije je

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Kadar velja tudi $s_x{s}_y=1$ predstavlja matrika stiskanje (pri tem se ohranja površina).

Nekateri povečevanje in zmanjševanje imenujejo tudi skaliranje .

Striženje

Strig je podoben nagibanju slike. Možni sta dve obliki: Strig vzdolž osi-y tako, da so nove koordinate $x^{\prime }=x+ky$ in $y^{\prime }=y$. Pri tem je strižna matrika za stolpični vektor enaka

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Druga oblika pa je striženje vzdolž osi-x. Pri tem so nove koordinate $x^{\prime }=x$ in $y^{\prime }=y+kx$. Matrika pa ima obliko

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ k& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Zrcaljenje

Če zrcalimo preko premice, ki teče preko izhodišča in ima smer vektorja $\overrightarrow{l}=(l_x,l_y)$, potem zrcaljenje opisuje matrika

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}1-2a^2& -2ab& -2ac\\ -2ab& 1-2b^2& -2bc\\ -2ac& -2bc& 1-2c^2\end{array}\right]$

Pravokotna projekcija

Če hočemo izvesti projekcijo vektorja na premico, ki teče skozi izhodišče, naj bo $\overrightarrow{u}=(u_x,u_y)$, potem je transformacijska matrika

$𝐀=\frac{1}{\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2}\left[\begin{array}{cc}{u}_x^2& u_x{u}_y\\ u_x{u}_y& u_y^2\end{array}\right]$

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Transformacijska matrika na Mathworld Predloga:Ikona en
• Transformacijska matrika Predloga:Ikona sl
• Računalniška grafika Predloga:Webarchive Predloga:Ikona sl