Algebra z deljenjem

Algebra z deljenjem je v abstraktni algebri algebra nad obsegom v kateri je možno tudi deljenje. To lahko povemo tudi, da je algebra z deljenjem vektorski prostor v katerem lahko množimo in delimo.

Definicija

Predpostavimo, da je algebra $D$ algebra nad obsegom in da nima ničelnega elementa. Algebra $D$ je algebra z deljenjem, če za katerikoli element $a$ v $D$ in element $b$, ki je tudi v$D$, obstoja točno samo en element $x$ v $D$ tako, da velja $a=bx$, in točno en element $y$ v $D$, tako, da je $a=yb$.

Za asociativne algebre lahko to definicijo poenostavimo na naslednji način: asociativna algebra je algebra z deljenjem samo, če in samo če ima nevtralni element $1\ne 0$ in vsak neničelen element ima multiplikativni obratni element to je element $x$ za katerega velja $ax=xa=1$.

Zgledi

Najbolj znan zgled asociativne algebre z deljenjem so končnorazsežna realna števila. To je algebra nad obsegom $ℝ$ realnih števil, ki je končnorazsežen kot vektorski prostor nad realnimi števili. Frobeniusov izrek trdi, da so glede na morfizem štiri takšne algebre: realna števila (razsežnost 1), kompleksna števila (razsežnost 2), kvaternioni (razsežnost 4) ter oktonioni (razsežnost 8).

Zunanje povezave

• Algebra z deljenjem na MathWorld Predloga:Ikona en
• Algebra z deljenjem Predloga:Webarchive na PlanetMath Predloga:Ikona en
• Algebra z deljenjem na SpringerLink Predloga:Ikona en