Funktor

Funktor je v teoriji kategorij posebna vrsta preslikav med kategorijami. Funktorje si lahko predstavljamo kot homomorfizme med kategorijami oziroma kot morfizme v kategoriji majhnih kategorij.

Funktorje so najprej obravnavali v algebrski topologiji, kjer so algebrski objekti povezani v topološke prostore.

Izraz funktor je izposojen od v Nemčiji rojenega filozofa Rudolfa Carnapa (1891 – 1970), ki pa je izraz uporabljal v lingvističnem okolju.

Definicija

Naj bosta $C$ in $D$ kategoriji. Funktor $F$ iz $C$ v $D$ je preslikava ,zuje vsak morfizem $f:X\to YϵC$ z morfizmom $F(f):F(X)\to f(Y)ϵD$ tako, da veljata naslednji trditvi

• • $F({\mathrm{i}\mathrm{d}}_X)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{F(X)}$ za vsak objekt $F(X)ϵD$
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$za vse morfizme $f:X\to Y$ in $g:Y\to Z.$.

To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.

Kovariantnost in kontravariantnost

Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.

V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je $F$ funktor iz $C$ v $D$ kot preslikava za katero velja zuje vsak morfizem $f:X\to YϵC$ z morfizmom $F(f):F(X)\to f(Y)ϵD$ tako, da veljata naslednji trditvi

• • $F({\mathrm{i}\mathrm{d}}_X)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{F(X)}$ za vsak objekt $F(X)ϵD$
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$za vse morfizme $f:X\to Y$ in $g:Y\to Z.$.

Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.

Bifunktorji in multifunktorji

Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.

Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na $n$.

Zgledi

Naštetih je nekaj zgledov funktorjev:

• Konstantni funktor: Funktor, ki preslika ($C\to D$) vsak objekt iz $C$ v fiksni objekt $X$ v $D$.
• Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe.
• Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe.
• Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz $D$ v funktorsko kategorijo $D^C$, ki vsakemu objektu v $D$ priredi konstantni funktor temu objektu.

Zunanje povezave

• Funktor Predloga:Webarchive na MaFiRa Predloga:Ikona sl
• Funktor Predloga:Webarchive na PlanetMath Predloga:Ikona en
• Funktor Predloga:Ikona en