Trigonometrija

Predloga:Trigonometrija Beseda trigonometríja izhaja iz grških besed trigonon - trikotnik + metria - merjenje. Ta veja matematike se je razvila iz preučevanja trikotnika in odnosov med njegovimi stranicami in koti. K razvoju trigonometrije sta veliko pripomogla astronomija in delitev kroga na 360°. Pri Egipčanih je razvoj trigonometrije potekal vzporedno z gradnjo piramid.

V sredini 15. stoletja je nemški astronom in matematik Regiomontan objavil vse dotedanje znanje trigonometrije, kar je vplivalo na razvoj te veje po vsej Evropi. Razvoj trigonometrije je povezan s tehničnim razvojem.

Osnova trigonometrije so kotne ali trigonometrične funkcije.

Osnovni problem trigonometrije je razreševanje trikotnika - to pomeni računanje velikosti kotov in dolžin daljic (stranic, višin, težiščnic ipd.) v trikotniku. Najpomembnejša pravila, ki jih pri tem uporabljamo v evklidski geometriji, so:

• izrek o vsoti notranjih kotov trikotnika:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

• sinusni izrek:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

• kosinusni izrek

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Trigonometrična razmerja

V tem pravokotnem trikotniku: Predloga:Matematična formula Predloga:Matematična formula Predloga:Matematična formula

Trigonometrična razmerja so razmerja med robovi pravokotnega trikotnika. Ta razmerja so podana z naslednjimi trigonometričnimi funkcijami znanega kota A, kjer se a, b in c nanašajo na dolžine stranic na priloženi sliki:

• Sinusna funkcija (sin) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.

$\sin A=\frac{\text{nasprotnakateta}}{\text{hipotenuza}}=\frac{a}{c}.$

• Kosinusna funkcija (cos) je definirana kot razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.

$\cos A=\frac{\text{prileznakateta}}{\text{hipotenuza}}=\frac{b}{c}.$

• Tangentna funkcija (tan) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.

$\tan A=\frac{\text{nasprotnakateta}}{\text{prileznakateta}}=\frac{a}{b}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{\sin A}{\cos A}.$

Recipročne vrednosti teh funkcij se imenujejo kosekans (csc), sekans (sec) in kotangens (cot):

$\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{\text{hipotenuza}}{\text{nasprotnakateta}}=\frac{c}{a},$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{\text{hipotenuza}}{\text{prileznakateta}}=\frac{c}{b},$

$\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\text{prileznakateta}}{\text{nasprotnakateta}}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a}.$

Enotski krog in trigonometrične vrednosti

Slika 1a – Sinus in kosinus kota θ določena z enotsko krožnico.

Trigonometrična razmerja je mogoče predstaviti tudi z uporabo enotskega kroga, ki ima središče v izhodišču koordinatnega sistema in polmer 1. Od pozitivnega poltraka abscisne osi odmerimo premični poltrak kota A. Točko, kjer premični poltrak seka kotomerno krožnico, označimo s točko (x,y), kjer $x=\cos A$ in $y=\sin A$. Ta predstavitev omogoča izračun trigonometričnih vrednosti, kot so na primer te v spodnji tabeli

Funkcija	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$3\pi /4$	$5\pi /6$	$\pi$
sinus	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$
kosinus	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$	$-1/2$	$-\sqrt{2}/2$	$-\sqrt{3}/2$	$-1$
tangens	$0$	$\sqrt{3}/3$	$1$	$\sqrt{3}$	nedefinirano	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}/3$	$0$
sekans	$1$	$2\sqrt{3}/3$	$\sqrt{2}$	$2$	nedefinirano	$-2$	$-\sqrt{2}$	$-2\sqrt{3}/3$	$-1$
kosekans	nedefinirano	$2$	$\sqrt{2}$	$2\sqrt{3}/3$	$1$	$2\sqrt{3}/3$	$\sqrt{2}$	$2$	nedefinirano
kotangens	nedefinirano	$\sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}/3$	$0$	$-\sqrt{3}/3$	$-1$	$-\sqrt{3}$	nedefinirano

Trigonometrične funkcije realnih ali kompleksnih spremenljivk

Z uporabo enotskega kroga lahko razširimo definicije trigonometričnih razmerij na vse pozitivne in negativne argumente (glej trigonometrična funkcija).

Grafi trigonometričnih funkcij

Naslednja tabela povzema lastnosti grafov šestih glavnih trigonometričnih funkcij:

Funkcija	Obdobje	domena	Razpon	Graf
sinus	$2\pi$	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$[-1,1]$
kosinus	$2\pi$	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$[-1,1]$
tangens	$\pi$	$x\ne \pi /2+n\pi$	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$
sekans	$2\pi$	$x\ne \pi /2+n\pi$	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$
kosekans	$2\pi$	$x\ne n\pi$	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty })$
kotangens	$\pi$	$x\ne n\pi$	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

Inverzne trigonometrične funkcije

Predloga:Glavni Ker je šest glavnih trigonometričnih funkcij periodičnih, niso injektivne in zato niso inverzibilne. Z omejevanjem definicijskega območja trigonometrične funkcije, lahko postanejo inverzibilne. Predloga:Rp

Imena inverznih trigonometričnih funkcij, skupaj z njihovimi domenami in obsegom, najdete v naslednji tabeli:Predloga:RpPredloga:Rp

Ime	Običajni zapis	Definicija	Definicijsko območje x za realni rezultat	Razpon glavne vrednosti (radiani)	Razpon glavne vrednosti (stopinje)
Arkus sinus	y = Predloga:Matematična formula	x = Predloga:Matematična formula	−1 ≤ x ≤ 1	−Predloga:Sfrac ≤ y ≤Predloga:Sfrac	−90° ≤ y ≤ 90°
Arkus kosinus	y = Predloga:Matematična formula	x = Predloga:Matematična formula	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ Predloga:Pi	0° ≤ y ≤ 180°
Arkus tangens	y = Predloga:Matematična formula	x = Predloga:Matematična formula	vsa realna števila	−Predloga:Sfrac < y <Predloga:Sfrac	−90° < y < 90°
Arkus kotangens	y = Predloga:Matematična formula	x = Predloga:Matematična formula	vsa realna števila	0 < y < Predloga:Pi	0° < y < 180°
Arkus sekans	y = Predloga:Matematična formula	x = Predloga:Matematična formula	x ≤ −1 ali 1 ≤ x	0 ≤ y <Predloga:Sfrac ozPredloga:Sfrac < y ≤ Predloga:Pi	0° ≤ y < 90° ali 90° < y ≤ 180°
Arkus kosekans	y = Predloga:Matematična formula	x = Predloga:Matematična formula	x ≤ −1 ali 1 ≤ x	−Predloga:Sfrac ≤ y < 0 ali 0 < y ≤Predloga:Sfrac	−90° ≤ y < 0° ali 0° < y ≤ 90°