Cevov izrek

Cevov izrèk [čéjvov ~] v ravninski geometriji pravi, da tri prečnice trikotnika, ki izhajajo iz njegovih oglišč in se sekajo v eni točki, odrežejo odseke stranic, katerih zmnožki so enaki, oziroma še drugače, daljice $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ in $C{C}^{\prime }$, ki povezujejo oglišča in nasprotne stranice, se sekajo v eni točki (so konkurentne), tedaj in le tedaj, če velja:

Slika:Trikotnik Cevin izrek.png

Cevov izrek, 1. primer: tri daljice tvorijo šop premic v točki znotraj trikotnika ABC

Cevov izrek, 2. primer: tri daljice tvorijo šop premic v točki O zunaj trikotnika ABC

$\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=1.$

Izrek je dokazal italijanski matematik Giovanni Ceva in ga leta 1678 objavil v svojem delu De lineis rectis. Pred njim ga je dokazal saragoški kralj Al-Mu'taman ibn Hűd v 11. stoletju. Daljice $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ in $C{C}^{\prime }$ se imenujejo Cevove daljice.

Cevovemu izreku je enakovredna trigonometrična oblika: Cevove daljice tvorijo šop premic, če velja:

$\frac{\sin \mathrm{\angle }BA{A}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }CA{A}^{\prime }}\frac{\sin \mathrm{\angle }AC{C}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }BC{C}^{\prime }}\frac{\sin \mathrm{\angle }CB{B}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }AB{B}^{\prime }}=1.$

Cevov trikotnik je trikotnik $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, Cevov krog pa poteka skozi njegova oglišča.

Posplošitve

Izrek se lahko posploši na večrazsežne simplekse s pomočjo baricentričnih koordinat. Cevov n-simpleks je šop iz vsakega oglišča v točko nasprotne n-1 strani (facete). Cevove premice tvorijo šop premic, če lahko maso porazdelimo v oglišča tako, da se vsaka Cevova premica seka z nasprotno faceto v njenem masnem središču. Presečišče Cevovih premic je masno središče simpleksa.

Za splošne mnogokotnike v ravnini je izrek znan že od začetka 19. stoletja. Izrek so posplošili tudi za trikotnike na drugih ploskvah s konstantno ukrivljenostjo.

Glej tudi

Predloga:Kategorija v Zbirki

• Menelajev izrek
• projektivna geometrija