Absolutna vrednost

Graf funkcije absolutne vrednosti realnega števila x

Absolútna vrédnost (redko tudi módul) nekega realnega ali kompleksnega števila je v matematiki elementarna funkcija, ki predstavlja njegovo oddaljenost od številskega izhodišča (točke 0) na številski premici oziroma v kompleksni ravnini. Absolutno vrednost po navadi označimo z navpičnim oklepajem | |.

Absolutna vrednost poljubnega števila je vedno nenegativno število.

Realna števila

Absolutna vrednost realnega števila ni odvisna od njegovega predznaka.

$|a|=\{\begin{array}{c}a;a\ge 0\\ -a;a<0\end{array}$

Zgled: $|3|=3$ in $|-3|=3$ ter $|0|=0$.

Velja:

1. |a| ≤ b, če in samo če -b ≤ a ≤ b
2. |a| ≥ b, če in samo če a ≤ -b ali a ≥ b

Kompleksna števila

Kompleksna števila z absolutno vrednostjo 1 ležijo na enotski krožnici

Če imamo kompleksno število $z=a+bi$, kjer sta $a,b\in ℝ$, potem je absolutna vrednost $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, kar predstavlja razdaljo od števila z do točke 0 v kompleksni ravnini. Torej, $|3+4i|=5$.

Kompleksna števila, ki imajo enako absolutno vrednost, ležijo na krožnici s središčem v izhodišču.

Značilnosti absolutne vrednosti

Absolutna vrednost ima v realnem in v kompleksnem naslednje značilnosti:

1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0, če in samo če a = 0.
3. |ab| = |a||b|
4. |a/b| = |a| / |b| (če b ≠ 0)
5. |a+b| ≤ |a| + |b| (trikotniška neenakost)
6. |a-b| ≥ ||a| − |b||

Poleg tega velja v realnem še $\left|a\right|=\sqrt{a^2}$, v kompleksnem pa $\left|z\right|=\sqrt{z\bar{z}}$.

Vektorji

Absolutna vrednost vektorja je drugo ime za dolžino vektorja.

Zgled: absolutno vrednost trirazsežnega vektorja $\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)$ izračunamo po formuli:

$||\overrightarrow{a}||=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.$

Programiranje

V programskih jezikih je funkcija abs(a) (za realna števila) običajno vgrajena, sicer pa jo lahko enostavno sprogramiramo (zgled v pascalu):

function abs(a:integer):integer;
begin
  if (a >= 0) then abs := a
              else abs := -a;  
end;