Besslova funkcija

Besslove funkcije [béslove fúnkcije] (pogosteje Bésselove f.) so družina transcendentnih funkcij, ki rešijo Besslovo diferencialno enačbo:

$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(x^2-{\nu }^2)y=0.$

Besslove funkcije je prvi definiral švicarski matematik Daniel Bernoulli in jih poimenoval po Friedrichu Wilhelmu Besslu.

Uporabnost Besslovih funkcij

Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov matematične fizike v valjasti ali krogelni geometriji, kot na primer:

• prevajanje toplote ali difuzija v valju
• nihanje krožno vpete tanke membrane (npr. pri bobnu)
• elekromagnetna valovanja v valjastem valovnem vodniku. V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot harmonične funkcije (sinus, kosinus) v pravokotni geometriji.

Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov uporabne matematike.

Besslove funkcije $J_{\nu }$ in $Y_{\nu }$

Graf Besslove funkcije prve vrste za red ν = 0,1,2.

Besslova funkcija prve vrste reda $\nu$ se izračuna kot:

$J_{\nu }=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^m{x}^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\mathrm{\Gamma }(m+\nu +1)}$

Če $\nu$ ni celo število, funkciji $J_{\nu }\left(x\right)$ in $J_{-\nu }\left(x\right)$ nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko:

$y\left(x\right)=c_1{J}_{\nu }\left(x\right)+c_2{J}_{-\nu }\left(x\right)(\nu \in ̸𝒵)$

Kjer sta $c_1$ in $c_2$ odvisna od začetnih pogojev.

Če je $\nu$ celo število, se izkaže, da sta funkciji $J_{\nu }\left(x\right)$ in $J_{-\nu }\left(x\right)$ linearno odvisni, saj velja:

$J_{-\nu }\left(x\right)={(-1)}^{\nu }{J}_{\nu }\left(x\right)$

Graf Besslove funkcije druge vrste za red ν = 0,1,2.

V tem primeru potrebujemo Besslovo funkcijo druge vrste reda $\nu$, ponekod imenovano tudi Neumannova funkcija ali Webrova funkcija:

$Y_{\nu }\left(x\right)=\underset{m\to \nu }{\lim }\frac{J_m\left(x\right)\cos \left(\pi m\right)-J_{-m}\left(x\right)}{\sin \left(\pi m\right)}$

V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli realni $\nu$ enaka:

$y\left(x\right)=c_1{J}_{\nu }\left(x\right)+c_2{Y}_{\nu }\left(x\right)(\nu \in ℛ)$

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld