Descartesov list

Descartesov list s parametrom a=1

Descartesov list je v geometriji algebrska krivulja, ki jo določa enačba tretje stopnje (v kartezičnih koordinatah):

$x^3+y^3-3axy=0.$

V polarnih koordinatah je enačba Descartesovega lista enaka:

$r=\frac{3a\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }.$

Parametrična oblika pa je:

$x=\frac{3ap}{1+p^3},y=\frac{3a{p}^2}{1+p^3}.$

Iz tega se vidi, da parameter $p$ določa posamezne dele (veje) krivulje:

• p < -1 pripada spodnjemu, desnemu delu krivulje
• -1 < p < 0 pripada zgornjemu, levemu delu krivulja
• p > 0 pripada zanki krivulje

Zgodovina

Prvi je krivuljo proučeval francoski filozof, matematik, fizik, učenjak in častnik René Descartes (1596 – 1650) v letu 1638. Descartes je izzval francoskega pravnika, matematika in fizika Pierra de Fermata (1601 – 1665), da bi našel tangento na krivuljo v poljubni točki, kar je ta tudi z lahkoto naredil.

Značilnosti

Descartesov list ima naslednje značilnosti:

• je osno simetričen glede na simetralo 1. in 3. kvadranta. Natančno dve točki ležita na simetrali. To je izhodišče in teme zanke.
• izhodišče koordinatnega sistema je dvojna točka krivulje.
• premica z enačbo $x+y+a=0$ je asimptota krivulje
• krivinski polmer v izhodišču je $\frac{3}{2}a$
• zanka ima površino $\frac{3}{2}{a}^2$. Enaka ploščina je tudi med asimptoto in krivuljo

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Descartesov list na MathWorld Predloga:Ikona en
• Descartesov list Predloga:Ikona en