Funkcija verjetnosti

Slika:Discrete probability distrib sl.svg

Primer funkcije verjetnosti za diskretno slučajno spremenljivko.
Vsota vseh verjetnosti je vedno 1.

Funkcija verjetnosti (oznaka pmf iz probability mass function) je v teoriji verjetnosti funkcija, ki daje verjetnost, da ima diskretna slučajna spremenljivka točno določeno vrednost. Označuje se jo z $𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{)}$.

Od funkcije gostote verjetnosti, ki se uporablja za opis porazdelitve verjetnosti zveznih spremenljivk, se razlikuje v tem, da funkcija gostote verjetnosti ne predstavlja prave verjetnosti. Funkcija verjetnosti pa določa verjetnost, da v poskusu slučajna spremenljivka zavzame točno določeno vrednost. Funkcija gostote verjetnosti je definirana samo za zvezne slučajne spremenljivke. V resnici se šele s pomočjo integrala funkcije gostote verjetnosti v določenem območju lahko dobi verjetnost, da spremenljivka pade v to območje vrednosti.

Če se predpostavi, da je X: S → R diskretna slučajna spremenljivka, ki je določena v S, potem je funkcija verjetnosti f_X : R → [0, 1] za spremenljivko X določena kot:

$f_X(x)=\mathrm{Pr}(X=x)=\mathrm{Pr}(\{s\in S:X(s)=x\}),$

kjer se je s

$\mathrm{Pr}(X=x)$ označila verjetnost, da slučajna spremenljivka X zavzame vrednost x.

Velja tudi:

• $p_X(x_i)⩾0,\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}$.
• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_X(x_i)=1$

Zgled

V zgledu meta kovanca sta možna dva izida poskusa: številka (0) ali glava (1). To se lahko zapiše kot funkcijo verjetnosti:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2},& x\in \{0,1\}\\ 0,& x\notin \{0,1\}.\end{array}$