Gompertzeva konstanta

Gompertzeva konstanta ali Euler-Gompertzeva konstanta (označba $G$ ) je v matematiki konstanta, ki se pojavlja pri vrednostih nekaterih integralov in specialnih funkcij. Imenuje se po angleškem matematiku Benjaminu Gompertzu in Leonhardu Eulerju.

Definicija

Lahko se definira z verižnim ulomkom:

G = \frac{1}{2 - \frac{1^{2}}{4 - \frac{2^{2}}{6 - \frac{3^{2}}{8 - \frac{4^{2}}{10 - \frac{5^{2}}{12 - \frac{6^{2}}{14 - \frac{^{}}{}}}}}}}},

ali drugače:

G = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \frac{3}{1 + \frac{3}{1 + 4 \frac{1}{}}}}}}}} .

$G$ se največkrat pojavi v naslednjih integralih:

G = \int_{0}^{\infty} \ln (1 + x) e^{- x} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x}}{1 + x} d x = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - \log x} d x .

Vrednost konstante $G$ je: Predloga:OEIS

G = 0, 596347362323194074341078499369279376074177 \dots

Euler je pri raziskovanju divergentnih neskončnih vrst naletel na $G$ prek zgornjih integralskih izrazov. Le Lionnais jo je imenoval Gompertzeva konstanta zaradi njene vloge v preživetveni analizi.^[1]

Konstanta $G$ se lahko izrazi z eksponentnim integralom kot:

G = - e Ei (- 1) .

Z razvojem funkcije $Ei$ v Taylorjevo vrsto velja:

G = - e (γ + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n \cdot n!}) .

Gompertzeva konstanta je povezana z Gregoryjevimi koeficienti z Mezőjevo formulo iz leta 2013:^[2]

G = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\ln (n + 1)}{n!} - \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n + 1} {e \cdot n!} - \frac{1}{2} .