Hurwitzeva funkcija zeta

Barvna predstavitev Hurwitzeve funkcije $\zeta (s,q)$ za $q=1/3$ v kompleksni ravnini. Barva točke odkriva vrednost funkcije. Temnejše barve označujejo vrednosti blizu nič, odtenek pa argument vrednosti. Ustvarjena je s tiskalniško knjižnico matplotlib z različico metode domenskega barvanja.

Hurwitzeva funkcija zeta (običajna označba $\zeta (s,q)$, včasih tudi ${\zeta }_{\mathrm{H}}(s,q)$) je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil ena od mnogih funkcij ζ. Imenuje se po nemškem matematiku Adolfu Hurwitzu.

Formalno je definirana za kompleksna argumenta $s$ in $q$ kot:

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(q+n{)}^s},(\mathrm{\Re }(s)>1,\mathrm{\Re }(q)>0).$

Ta neskončna vrsta je absolutno konvergentna za dane vrednosti $s$ in $q$. Lahko se razširi na meromorfno funkcijo definirano za vse $s\ne 1$. Riemannova funkcija ζ je posebni primer za $q=1$:

$\zeta (s)=\zeta (s,1).$

Funkcija trigama je posebni primer za $s=2$:

${\psi }_1(z)=\zeta (2,z).$