Inverzna funkcija

Graf inverzne funkcije dobimo tako, da graf prvotne funkcije prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov (premico y = x.

Predloga:Funkcije Inverzna funkcija (kratko tudi inverz) je v matematiki funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija $f$. Inverz funkcije $f$ označimo $f^{-1}$.

Funkcija $f:A\to B$ ima inverz samo, če je bijektivna. V tem primeru je inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$, ki je tudi bijektivna. Če funkcija $f$ preslika element $x$ v $y$, potem inverzna funkcija $f^{-1}$ preslikava $y$ v $x$.

$f(x)=y⟺x=f^{-1}(y)$

Zgledi:

• funkcija, ki deluje obratno kot prištevanje 3, je odštevanje 3:

$f(x)=x+3⟺f^{-1}(x)=x-3$

• funkcija, ki deluje obratno kot množenje s 3, je deljenje s 3:

$f(x)=3x⟺f^{-1}(x)=\frac{x}{3}$

• funkcija, ki deluje obratno kot potenciranje na 3, je tretji koren:

$f(x)=x^3⟺f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$

Če izračunamo kompozitum funkcije $f$ in njenega inverza (v poljubnem vrstnem redu), dobimo identično funkcijo:

$f\circ f^{-1}=id$

$f^{-1}\circ f=id$

Oziroma drugače zapisano:

$f(f^{-1}(x))=x$

$f^{-1}(f(x))=x$

Delni inverz

Kvadratni koren je delni inverz kvadriranja (je inverz samo za nenegativne vrednosti x).

Če funkcija $f:A\to B$ ni bijektivna, inverz ne obstaja. V takem primeru pogosto množici zožimo (nadomestimo s podmnožicama $A_1$ in $B_1$) tako, da je dobljena funkcija $f:A_1\to B_1$ bijektivna. Dobljena funkcija ima inverz, vendar samo v okviru zoženih množic $A_1$ in $B_1$. Tak inverz imenujemo delni inverz.

Zgled: Funkcija $f(x)=x^2$ ni bijektivna funkcija $f:ℝ\to ℝ$ in zato nima inverza. Če se omejimo samo na nenegativna števila, pa ugotovimo, da je ta ista funkcija bijektivna kot funkcija $f:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+}$. V tem smislu obstaja tudi inverz, ki je enak $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$.