Kartezični produkt

Kartezični produkt množic {x,y,z} in {1,2,3}

Kartézični prodúkt (tudi kartézijski prodúkt ali redkeje prémi prodúkt) je matematična operacija med množicami. Kartezični produkt množic

$A$

in

$B$

je množica

$A\times B$

, ki vsebuje vse urejene pare

$(a,b)$

, kjer je

$a$

element

$A$

in

$b$

element

$B$

:

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}.$

Če ima prva množica kartezičnega produkta $n$ elementov, druga množica pa $m$ elementov, potem ima njun kartezični produkt $n\cdot m$ elementov.

Namesto urejenih parov lahko definiramo tudi urejene trojice, četverke, in tudi urejene n-terice. Tako je $A\times B\times C$ množica urejenih trojic s prvo koordinato iz $A$, drugo iz $B$ in tretjo iz množice $C$.

Primer

Komplet kart

Standardni paket 52 kart

Ilustrativen primer je standardni paket 52 kart. Vrste igralnih kart {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} tvorijo množico 13 elementov. Simboli kart Predloga:Nowrap} tvorijo množico 4 elementov. Kartezični produkt teh množic je 52-elementna množica, sestavljena iz 52 urejenih parov, ki ustrezajo vsem 52 možnim igralnim kartam.

Predloga:Nowrap vrne množico v obliki {(A, ♠), (A, Predloga:Color), (A, Predloga:Color), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, Predloga:Color), (2, Predloga:Color), (2, ♣)}.

Predloga:Nowrap vrne množico v obliki {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Lastnosti

Iz opisa urejenih parov sledi, da kartezični produkt ni komutativen. V splošnem namreč velja:

$A\times B\ne B\times A$

Prazen kartezični produkt:

$A\times B=\mathrm{\varnothing }$ natanko tedaj, ko je $A=\mathrm{\varnothing }$ ali $B=\mathrm{\varnothing }$.

Kartezični produkt in presek:

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)=(A\times D)\cap (B\times C)$.

Monotonost kartezičnega produkta:

Če je $A\subseteq C$ in $B\subseteq D$, potem je $A\times B\subseteq C\times D$.