O notacija

Primer notacije O: f(x) ∈ O(g(x)) za c > 0 (e.g. c = 1) in x₀ (e.g. x₀ = 5) tako, da je f(x) < cg(x) kadar je x > x₀.

O notacija (tudi notacija veliki O) se v matematiki uporablja za opisovanje limitnega obnašanja funkcije, ko argument gre proti določeni vrednosti ali neskončnosti. Ta notacija pripada večji družini notacij, ki jih imenujemo Landauova notacija, Bachmann-Landauova notacija (imenovana po Edmundu Landau (1877 – 1938) in Paulu Bachmannu (1837 - 1920)) ali asimptotska notacija.

V računalništvu se notacija O uporablja za razvrščanje algoritmov po tem kako se odzivajo na spremembe v velikosti vhoda.

Definicija

Naj bosta f(x) in g(x) dve funkciji, ki sta definirani nad neko podmnožico realnih števil. Lahko zapišemo :

$f (x) = O (g (x)) ko gre x \to \infty$

Če in samo, če obstoja pozitivna konstanta M tako, da je za vse dovolj velike vrednosti x , je f(x) kvečjemu z M pomnožen z g(x) v absolutno vrednost. To je f(x) = O(g(x)) samo, če in samo če obstoja pozitivno realno število M in realno število x₀, da velja

| f (x) | \leq M | g (x) | za vse x > x_{0}

.

V mnogih primerih je predpostavka, da nas zanima samo stopnja rasti ko gre x proti neskončnosti, neveljavna. Običajno zapišemo f(x) = O(g(x)). Označevanje se lahko uporabi za prikaz obnašanja funkcije f blizu nekega realnega števila (pogosto okoli a=0). Lahko zapišemo, da je

f (x) = O (g (x)) kadar gre x \to a

če in samo, če obstoja takšni pozitivni števili δ in M, da velja

| f (x) | \leq M | g (x) | za | x - a | < δ

.

Če je g(x) neničelen za vrednosti dovolj blizu vrednosti a se lahko obe od teh definicij združita z uporabo zgornje in spodnje limite

f (x) = O (g (x)) kadar gre x \to a

če in samo, če je

\underset{x \to a}{lim sup} | \frac{f (x)}{g (x)} | < \infty

.

Skupina Bachmann-Landauovih notacij

notacija	ime	opis	definicija: za dovolj velike $n$ ...	definicija	opombe
$f (n) \in O (g (n))$	veliki omikron; veliki O; veliki Oh	$f$ je omejena zgoraj z $g$ (do konstantnega faktorja) asimptotično	$\| f (n) \| \leq g (n) \cdot k$ za neki k	$\exists k > 0 \exists n_{0} \forall n > n_{0} \| f (n) \| \leq \| g (n) \cdot k \|$ ali $\exists k > 0 \exists n_{0} \forall n > n_{0} f (n) \leq g (n) \cdot k$
$f (n) \in ω (g (n))$	veliki omega	$f$ je omejen spodaj z $g$ (do konstatnega faktorja) asimptotično	$f (n) \geq g (n) \cdot k$ za pozitivni k	$\exists k > 0 \exists n_{0} \forall n > n_{0} g (n) \cdot k \leq f (n)$	od začetka 20. stoletja so dokumenti o teoriji števil so stalno bolj uporabljali to notacijo, vendar z občutkom, da je f = o(g) napačno.
$f (n) \in θ (g (n))$	veliki theta	$f$ je omejen zgoraj in spodaj z $g$ asimptotično	$g (n) \cdot k_{1} \leq f (n) \leq g (n) \cdot k_{2}$ za neki pozitivni k₁, k₂	$\exists k_{1} > 0 \exists k_{2} > 0 \exists n_{0} \forall n > n_{0}$ $g (n) \cdot k_{1} \leq f (n) \leq g (n) \cdot k_{2}$
$f (n) \in o (g (n))$	mali omikron; mali O; mali Oh	$f$ prevladuje $g$ asimptotično	$\| f (n) \| \leq \| g (n) \| \cdot ε$ za vsak $ε$	$\forall ε > 0 \exists n_{0} \forall n > n_{0} \| f (n) \| \leq \| g (n) \cdot ε \|$
$f (n) \in ω (g (n))$	mali omega	$f$ prevladuje $g$ asimptotsko	$f (n) \geq g (n) \cdot k$ za vsak k	$\forall k > 0 \exists n_{0} \forall n > n_{0} g (n) \cdot k < f (n)$
$f (n) \sim g (n)$	On the order of	$f$ je enak $g$ asimptotsko	$f (n) / g (n) \to 1$	$\forall ε > 0 \exists n_{0} \forall n > n_{0} \| \frac{f (n)}{g (n)} - 1 \| < ε$

Bachmann–Landauova notacija uporablja nekaj mnemotehnik. Tako lahko preberemo "omikron" kot "o-mikron" in "omega" lahko preberemo kot "o-mega".

mnemotehnika za o-micron: Čitanje o-mikron $f (n) \in O (g (n))$ in $f (n) \in o (g (n))$ si lahko mislimo kot "O-manjši kot" in "o-manjši kot". Ta mnemotehnika micro/manjši se nanaša na dovolj velik vhodni parameter ali parametre, $f$ raste po stopnji, ki je manjša kot $c g$ glede na $g \in O (f)$ or $g \in o (f)$ .
mnemotehnika za o-mega : Čitanje o-mega $f (n) \in Ω (g (n))$ in $f (n) \in ω (g (n))$ si lahko mislimo kot "O-večji kot". Ta mnemotehnika mega/večji: se nanaša na dovolj velik vhodni parameter ali parametre, $f$ raste po stopnji, ki je večja kot $c g$ glede na $g \in Ω (f)$ ali $g \in ω (f)$ .
mnemotehnika za zgornji znak: Ta mnemotehnika nas spominja na to, kdaj uporabimo zgornje grške črke v $f (n) \in O (g (n))$ in $f (n) \in Ω (g (n))$ : za dovolj velik vhodni parameter ali parametre, $f$ raste po stopnji, ki bi lahko bila enaka z $c g$ glede na $g \in O (f)$ .
mnemotehnika za spodnji znak: Ta mnemotehnika nas spominja na to, kdaj moramo uporabiti male grške črke v $f (n) \in o (g (n))$ in $f (n) \in ω (g (n))$ : za dovolj velik vhodni parameter ali parametre, $f$ raste po stopnji, ki je neenaka z $c g$ glede na $g \in O (f)$ .

Razen notacije O se v računalništvu uporablja še notacija z velikim teta (Θ) in velikim omega (Ω) . V računalništvu pa se zelo redko uporablja notacija z uporabo malega omega (ω).

Zunanje povezave

O notacija

Definicija

Skupina Bachmann-Landauovih notacij

Zunanje povezave

Navigacijski meni

Iskanje