Obratna Fibonaccijeva konstanta

Obratna Fibonaccijeva konstanta (oznaka ψ) je v matematiki konstanta in je določena kot vsota obratnih vrednosti Fibonaccijevih števil:

ψ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{F_{k}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{13} + \dots .

Razmerje zaporednih členov vsote konvergira k obratni vrednosti števila zlatega reza Φ. Ker je ta manjša od 1, d'Alembertov kriterij pokaže, da vsota konvergira.

Vrednost ψ je približno Predloga:OEIS:

ψ \approx 3, 359885666243177553172011302918927179688905133731 \dots

Ni znana nobena sklenjena enačba za ψ. Gosper je opisal algoritem za hitri izračun njenih približkov.^{[opomba 1]}^[1] ψ je iracionalno število. To so domnevali Erdős, Graham in Carlitz, dokazal pa Richard André-Jeannin leta 1989.^[2]

Neskončni verižni ulomek obratne Fibonaccijeve konstante je Predloga:OEIS:

ψ = [3; 2, 1, 3, 1, 1, 13, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 6, 3, 2, 4, 362, 2, 4, 8, 6, 30, 50, 1, 6, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 1, 3, 2, \dots] .

Ker obratna Fibonaccijeva konstanta ψ ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Opombe

↑ Vrsta vsote obratnih vrednosti Fibonaccijevih števil da za k členov v razvoju O(k) decimalnih števk, Gosperjeva vrsta da O(k²) števk.