Podmnožica

Podmnožica X⊆Y v Eulerjevem diagramu

Podmnožica ali delna množica množice $Y$ je v matematiki množica $X$, če so vsi elementi $X$ tudi v $Y$. Relacijo z matematičnim zapisom zapišemo $X\subseteq Y$. Ali drugače, $X\subseteq Y$ tedaj in le tedaj, ko $X$ ne vsebuje nobenega elementa, ki ni tudi član množice $Y$. Množica $Y$ v tem primeru se imenuje supermnožica množice $X$ in zapišemo $Y\supseteq X$.

Vsaka množica $Y$ je sama sebi podmnožica. Podmnožica $Y$, ki ni enaka $Y$, se imenuje prava. Če je $X$ prava podmnožica $Y$, potem pišemo $X\subset Y$.

$X\subset Y$ natanko tedaj, ko $X\subseteq Y\wedge X\ne Y$

Različni zapisi

Pri zapisu podmnožic obstajata dva glavna načina. Starejši način uporablja znak $\subset$ za podmnožico in $\subseteq$ za pravo podmnožico. Novejši način uporablja znak $\subseteq$ za podmnožico in $\subset$ za pravo podmnožico. Wikipedija uporablja novejši način, ki ga zna zapisati večina spletnih brskalnikov.

Primeri

• Množica {1, 2} je prava podmnožica {1, 2, 3}.

$\{1,2\}\subset \{1,2,3\}$

• Množica {1, 2} je podmnožica sami sebi {1, 2}.

$\{1,2\}\subseteq \{1,2\}$

• Množica naravnih števil N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} je prava podmnožica množice racionalnih števil Q.

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,\dots \}\subset \mathbb{Q}$

• Množica P '₂₀₀₀ = {x : x je praštevilo > 2000} je podmnožica množice L '₁₀₀₀ = {x : x je liho število > 1000}

$P_{2000}=\{x\mid x\text{ je praštevilo}>2000\}\subset L_{1000}=\{x\mid x\text{ je liho število}>1000\}$

• Vsaka množica A je po definiciji tudi podmnožica same sebe (A), ni pa vsaka tudi sama sebi prava.

$A\subseteq A$

• Lastna množica A je poljubna podmnožica razen množice A same.

$A\subset X,A\ne X$

• Prazna množica Ø = {} je prav tako podmnožica vsake poljubne množice X. To je zaradi tega, ker za prazno množico velja nepopolna definicija podmnožice X: ker prazna množica nima elementov, nujno vsebuje nič elementov, ki niso člani množice X. Tako je prazna množica vedno prava podmnožica razen sama sebi.

$\mathrm{\varnothing }\subseteq X$