Pogojna verjetnost

Pogojna verjetnost je verjetnost, da se zgodi dogodek $A$, pod pogojem, da se je zgodil neki drugi dogodek $B$. Takšno verjetnost označimo s $P(A|B)$. Pogojno verjetnost lahko določimo za nezvezne (diskretne) in zvezne slučajne spremenljivke.

Vennov diagram, ki prikazuje presek dveh množic.

Dva dogodka

Za dva dogodka dobimo pogojno verjetnost po obrazcu:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$,

kjer je

• $P(B)>0$
• z oznako $P(A\cap B)$ je označeno pojavljanje dogodka $A$ in dogodka $B$ (presek dogodkov $A$ in $B$).

Za presek dogodkov uporabljamo tudi izraz produkt dogodkov. Verjetnost produkta dogodkov označimo tudi s $P(AB)$. V tem primeru za pogojno verjetnost lahko zapišemo $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$.

Kadar je $B$ enako nič, je verjetnost $P(A|B)$ nedefinirana (glej Borel-Kolmogorov paradoks).

Velja tudi:

$P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$.

Večje število dogodkov

Zgornji izraz lahko napišemo kot

$P(A|B)P(B)=P(A\cap B)$

oziroma posplošimo na tri dogodke

$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A\cap B)$.

Za poljubno število dogodkov pa to napišemo kot

$\begin{array}{cc}P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)& =P(A_1)\cdot \frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}\cdot \frac{P(A_1\cap A_2\cap A_3)}{P(A_1\cap A_2)}\cdot \dots \cdot \frac{P(A_1\cap \dots \cap A_n)}{P(A_1\cap \dots \cap A_{n-1})}\\ & =P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot P(A_3|A_1\cap A_2)\cdot \dots \cdot P(A_n|A_1\cap \dots \cap A_{n-1})\end{array}$

Neodvisni in nezdružljivi dogodki

Dva dogodka $A$ in $B$ sta neodvisna, če zanju velja:

$P(A|B)=P(A)$ in $P(B|A)=P(B)$.

To pomeni, da je za neodvisne dogodke je pogojna verjetnost enaka verjetnosti posameznih dogodkov.

Za neodvisne dogodke velja tudi

$P(A|B)=P(A)$ oziroma $P(B|A)=P(B|\bar{A})$

kjer je z $\bar{A}$ označena negacija dogodka $A$ (dogodek $A$ se ne zgodi).

Povsem enostavno je posplošiti zgornje izraze na večje število dogodkov.

Za verjetnost produkta neodvisnih dogodkov velja tudi:

$P(A\cap B)=P(A).P(B)$.

Kadar pa sta dogodka nezdružljiva velja:

$P(A|B)=0$.

Bayesov obrazec

Povezavo med verjetnostjo $P(A|B)$ in $P(B|A)$ nam daje Bayesov obrazec (izrek o verjetnosti hipotez).

$P(B\mid A)=P(A\mid B)\frac{P(B)}{P(A)}.$

Zvezne spremenljivke

Podobno definiramo pogojno verjetnost za zvezne spremenljivke.

$f(x|A)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(x)}{P(A)}& xϵA\\ 0& x\notin A\end{array}$

kjer je

• $f(x)$ funkcija gostote verjetnosti za slučajno spremenljivko X
• A je dogodek s pozitivno verjetnostjo

Za katerikoli dogodek $B$ velja tudi

$P(B|A)=\underset{B}{\int }f(x|A)dx$.

Verjetnost $P(B|A)$ je pogojna verjetnost za dogodek $B$, če se je zgodil dogodek $A$.