Popolna potenca

Predloga:Razredi deljivosti Popolna potenca je v matematiki sestavljeno pozitivno celo število, ki se ob praštevilskem razcepu lahko zapiše z eno samo celoštevilsko potenco. $n$ je popolna potenca, če obstajata takšni naravni števili $m>1$ in $k>1$, da velja $m^k=n$. V tem primeru se $n$ imenuje popolna k-ta potenca.

Potenca je oblike $m^k$, le da pri popolni potenci za $k$ vedno velja $k>1$. Če je $k=2$, se potenca imenuje popolni kvadrat, pri $k=3$ pa popolni kub. Včasih število 1 tudi velja za popolno potenco ($1^k=1$ za poljubni $k$).

Prve popolne potence so Predloga:OEIS:

• $1^n=1$
• $2^2=4$
• $2^3=8$
• $3^2=9$
• $2^4=4^2=16$
• $5^2=25$
• $3^3=27$
• $2^5=32$
• $6^2=36$
• $7^2=49$
• $2^6=4^3=8^2=64$
• $3^4=9^2=81$
• $10^2=100$
• ...

Prve popolne potence brez podvojitev so Predloga:OEIS:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, ...

Prve popolne potence z različnimi faktorizacijami so Predloga:OEIS:

1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...

Vsote

Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=1,$

kar se lahko dokaže kot sledi:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-1}\right)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m(m-1)}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}=1.$

Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc p brez podvojitev je enaka Predloga:OEIS:

$\sum _p\frac{1}{p}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0,874464368\dots$

kjer sta μ(k) Möbiusova funkcija in ζ(k) Riemannova funkcija zeta.

Po Eulerju je Goldbach dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(p−1) v množici popolnih potenc p, brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k-1}\equiv \sum _p\frac{1}{p-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1.$

To dejstvo se včasih imenuje Goldbach-Eulerjev izrek.

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld