Redhefferjeva matrika

Redhefferjeva matrika je kvadratna nesimetrična binarna matrika, ki ima za elemente $a_{ij}=1$, če $i$ deli $j$ ali, če je $j=1$, v ostalih primerih pa je $a_{ij}=0$.

Imenuje se po ameriškem matematiku Raymondu Moosu Redhefferju (1921––2005).

Determinanta

Determinanta Redhefferjeve matrike $R_n$ reda $n$ je enaka Mertensovi funkciji $M(n)$.

Zgled

$R_{12}=\left[\begin{array}{cccccccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Značilnosti

Redheffer je dokazal, da je število lastnih vrednosti Redhefferjeve matrike reda n enakih 1 za n > 1 enako:

$a(n)=n-\lfloor \mathrm{lb}n\rfloor -1,$

kjer je $\lfloor \circ \rfloor$ funkcija (spodnji) celi del, $\mathrm{lb}\circ$ (označen tudi $\mathrm{ld}$ ali $\lg$) pa dvojiški logaritem. Prve vrednosti enotskih lastnih vrednosti so Predloga:OEIS:

1, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, ...

Za enotske lastne vrednosti velja:

$a(n)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1+(-1{)}^{C_k}}{2},(n>1),$

kjer je $C_k$ k-to Catalanovo število.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Značilnosti Redhefferjeve matrike Predloga:Ikona en