Sinus versus

Trigonometrično funkcijo versin lahko prikažemo geometrijsko z enotskim krogom, ki ima središče v O.

Predloga:Trigonometrija Sinus versus (tudi versinus ali obrnjeni sinus) (oznaka $\mathrm{versine}z$ ali $\mathrm{vers}z$) je danes redko uporabljana trigonometrična funkcija, ki je povezana z danes bolj znanimi trigonometričnimi funkcijami na naslednji način:

$\mathrm{versin}(\theta )=1-\cos (\theta )=2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right).$

Grafična oblika versinusa je enaka kosinusoidi, ki je premaknjena za 1 navzgor. Funkcija je povsod definirana. Ničle ima funkcija v točkah $(2k\pi ,0)$. Minimumi so tam kjer so ničle. Maksimumi pa so v točkah $((2k+1)\pi ,2)$.

Definicije

V nadaljevanju so naštete vse obrnjene trigonometrične funkcije in njihove povezave z običajnimi (pogosteje uporabljanimi) funkcijami:

$\text{versin}(\theta ):=2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1-\cos (\theta )$
$\text{vercosin}(\theta ):=2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1+\cos (\theta )$
$\text{coversin}(\theta ):=\text{versin}(\frac{\pi }{2}-\theta )=1-\sin (\theta )$
$\text{covercosin}(\theta ):=\text{vercosin}(\frac{\pi }{2}-\theta )=1+\sin (\theta )$
$\text{haversin}(\theta ):=\frac{\text{versin}(\theta )}{2}=\frac{1-\cos (\theta )}{2}$
$\text{havercosin}(\theta ):=\frac{\text{vercosin}(\theta )}{2}=\frac{1+\cos (\theta )}{2}$
$\text{hacoversin}(\theta ):=\frac{\text{coversin}(\theta )}{2}=\frac{1-\sin (\theta )}{2}$
$\text{hacovercosin}(\theta ):=\frac{\text{covercosin}(\theta )}{2}=\frac{1+\sin (\theta )}{2}$

Iz pregleda se vidi, da je znanih več obrnjenih trigonometričnih funkcij

• kosinus versus ali vercosine, ki ga označujemo z $\mathrm{vercosin}(\theta )$
• koversinus, kiga označujemo z $\mathrm{coversin}(\theta )$ včasih okrajšamo v $\mathrm{cvs}(\theta )$
• koverkosinus, ki ga označujemo z $\mathrm{covercosin}(\theta )$
• haversinus, ki ga označujemo z $\mathrm{haversin}(\theta )$ najbolj znan haversinski obrazec, ki se je nekdaj uporabljal v navigaciji
• haverkosinus ali haverkosinus z oznako $\mathrm{havercosin}(\theta )$
• hacoversinus ali hakoversinus ali kohaversinus, ki ga označujemo z $\mathrm{hacoversin}(\theta )$
• hakoverzni kosinus ali hakoverkosinus ali kohaverkosinus z oznako $\mathrm{hacovercosin}(\theta )$
• ekssekanta, ki jo označujemo z $\mathrm{exsec}(\theta )$
• ekskosekanta z oznako $\mathrm{excosec}(\theta )$

Povezave s trigonometričnimi funkcijami

Trigonometrični funkciji, ki jo označimo z fun, pripadajo sledeče povezave

$\begin{array}{ccc}\mathrm{verfun}(\theta )& :=& 2{(\mathrm{fun}\left(\frac{\theta }{2}\right))}^2\\ \mathrm{cofun}(\theta )& :=& \mathrm{fun}(\frac{\pi }{2}-\theta )\\ \mathrm{hafun}(\theta )& :=& \frac{\mathrm{fun}(\theta )}{2}\\ \mathrm{exfun}(\theta )& :=& \mathrm{fun}(\theta )-1\\ \end{array}$.

Odvodi in integrali

$\frac{d}{dx}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\sin x$	$\int \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)dx=x-\sin x+C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=-\sin x$	$\int \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)dx=x+\sin x+C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=-\cos x$	$\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)dx=x+\cos x+C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\cos x$	$\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)dx=x-\cos x+C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\frac{\sin x}{2}$	$\int \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)dx=\frac{x-\sin x}{2}+C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\frac{-\sin x}{2}$	$\int \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)dx=\frac{x+\sin x}{2}+C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\frac{-\cos x}{2}$	$\int \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)dx=\frac{x+\cos x}{2}+C$
$\frac{d}{dx}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\frac{\cos x}{2}$	$\int \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)dx=\frac{x-\cos x}{2}+C$

Glej tudi

• eksekanta
• kosinus versus

Zunanje povezave

• Versina na MathWorld Predloga:Ikona en
• Haversina na MathWorld Predloga:Ikona en