Težiščni koordinatni sistem

Težiščni koordinatni sistem (tudi baricentrični koordinatni sistem) je v geometriji koordinatni sistem v katerem je lega točke določena kot masno središče mas, ki se nahajajo v ogliščih simpleksov (trikotnik, tetraeder...). Težiščne koordinate spadajo med homogene koordinate. Koordinate ročke v težiščnem koordinatnem sistemu imenujemo težiščne koordinate.

Sistem težiščnih koordinat je prvi vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius v letu 1827.

Definicija

Naj bodo ${\mathbf{\text{x}}}_1\dots {\mathbf{\text{x}}}_n$ oglišča simpleksa v vektorskem prostoru $A$

in, če za neko točko $\mathbf{\text{p}}$ v $A$ velja

$(a_1+\cdots +a_n)\mathbf{\text{p}}=a_1{\mathbf{\text{x}}}_1+\cdots +a_n{\mathbf{\text{x}}}_n$ in najmanj eden izmed $a_1+\cdots +a_n$ ni enak nič,

V tem primeru lahko rečemo, da so koeficienti $(a_1+\cdots +a_n)$ težiščne koordinate točke $\mathbf{\text{p}}$ glede na $x_1\cdots x_n$.

Oglišča imajo koordinate ${\mathbf{\text{x}}}_1=(1,0,0,...,0),{\mathbf{\text{x}}}_2=(0,1,0,...,0),\dots ,{\mathbf{\text{x}}}_n=(0,0,0,...,1)$.

Težiščnih koordinat ne moremo določiti enolično. Za vsak $b$, ki ni enak nič, so tudi $(b{a}_1,\cdots ,b{a}_n)$ težiščne koordinate za $p$. Kadar koordinate niso negativne, točka $P$ leži v konveksni ogrinjači za $x_1\cdots x_n$, to pa pomeni, da leži v simpleksu teh točk, ki so oglišča.

Težiščne koordinate v trikotniku

Težiščne koordinate $({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ nekaterih točk v enakostraničnem (zgoraj) in pravokotnem (spodaj) trikotniku.

Imamo definiran trikotnik $T$, ki je določen s tremi oglišči $r_1$, $r_2$ in $r_3$. Poljubna točka v trikotniku se lahko napiše kot

$\mathbf{\text{r}}={\lambda }_1{\mathbf{\text{r}}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{\text{r}}}_2+{\lambda }_3{\mathbf{\text{r}}}_3,$

kjer so

• ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ težiščne koordinate

Za te koordinate velja omejitev

${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1$.

Pretvorba v težiščne koordinate

Imamo dano točko $r$ (v resnici je to krajevni vektor do dane točke), ki leži znotraj trikotnika in želimo dobiti težiščne koordinate ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ v tej točki. Za točko moramo izraziti težiščne koordinate v Kartezičnih koordinatah $(x,y)$ z uporabo oglišč $r_1,r_2,r_3$ kot

$\begin{array}{c}x={\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+{\lambda }_3{x}_3\\ y={\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2+{\lambda }_3{y}_3\end{array}$.

Po preureditvi lahko to napišemo kot linearno transformacijo

$\mathbf{\text{T}}\cdot \lambda =\mathbf{\text{r}}-{\mathbf{\text{r}}}_3$

kjer je

• $\lambda$ je vektor težiščnih koordinat
• $r$ vektor v kartezičnih koordinatah
• $T$ matrika, ki ima vrednost

$\mathbf{\text{T}}=\left(\begin{array}{cc}{x}_1-x_3& x_2-x_3\\ y_1-y_3& y_2-y_3\end{array}\right)$.

Ker sta $r_1-r_2$ in $r_2-r_3$ linearno neodvisna, je matrika $T$ obrnljiva. To pomeni, da po preureditvi dobimo

$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\end{array}\right)={\mathbf{\text{T}}}^{-1}(\mathbf{\text{r}}-{\mathbf{\text{r}}}_3)$.

Iz tega se dobijo težiščne koordinate

${\lambda }_1=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{\det (T)}=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)},$

${\lambda }_2=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{\det (T)}=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{(y_3-y_1)(x_2-x_3)+(x_1-x_3)(y_2-y_3)},$

${\lambda }_3=1-{\lambda }_1-{\lambda }_2$.

Težiščne koordinate v tetraedru

Težiščni koordinatni sistem se z lahkoto razširi na tri razsežnosti. Simpleks v treh razsežnostih je tetraeder, ki je polieder, ki ima tri trikotne stranske ploskve in štiri oglišča.

Tudi tukaj težiščni sistemdoločimo tako, da ima prvo oglišče koordinate $\lambda =(1,0,0,0)$.

Tudi tukaj velja

$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)={\mathbf{\text{T}}}^{-1}(\mathbf{\text{r}}-{\mathbf{\text{r}}}_4)$

kjer je

• $T$ matrika $3\times 3$, ki ima obliko

$\mathbf{\text{T}}=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1-x_4& x_2-x_4& x_3-x_4\\ y_1-y_4& y_2-y_4& y_3-y_4\\ z_1-z_4& z_2-z_4& z_3-z_4\end{array}\right)$

Posplošeni težiščni koordinatni sistem

Kadar so težiščne koordinate določene glede na politop (namesto glede na simpleks), dobimo posplošene težiščne koordinate. Še vedno mora veljati

$(a_1+\cdots +a_n)p=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n$

kjer so $x_1\cdots x_n$ oglišča politopa.

Zunanje povezave

• Uporaba homogenih težiščnih koordinat v ravninski Evklidski geometriji Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Zbirka člankov o težiščnem koordinatnem sistemu Predloga:Ikona en
• Težiščni koordinatni sistem Predloga:Ikona en