August Ferdinand Möbius

August Ferdinand P. J. Möbius, nemški matematik in astronom, * 17. november 1790, Schulpforta, Saška, Nemčija, † 26. september 1868, Leipzig, Nemčija.

Življenje in delo

Möbius je študiral na univerzah v Leipzigu, v Göttingenu in Halleju. Najprej je hotel študirati pravo, potem pa se je pod Gaussovim vplivom le odločil za matematiko in astronomijo. Doktoriral je leta 1815 na Univerzi v Leipzigu pod Pfaffovim mentorstvom.

Leta 1816 je postal vseučiliščni profesor v Leipzigu. Bil je več kot petdeset let opazovalec in pozneje od leta 1844 tudi dolgoletni predstojnik tamkajšnjega observatorija. Bil je vsestranski znanstvenik.

Najbolj znan je po delu v matematiki. V svojem glavnem delu Težiščni račun (Der barycentrische Calcül), (1827) je z velikim uspehom uvedel nov način analitične obdelave problemov v projektivni geometriji s pomočjo težišča v geometrijske namene in v njem prvi vpeljal homogene koordinate. Če so mase $m_1$, $m_2$, $m_3$ postavljene v vrhovih danega trikotnika, je dal težišču teh mas koordinate $m_1:m_2:m_3$ in pokazal kako primerne so te koordinate za opisovanje projektivnih in afinih značilnosti ravnine. Od tedaj so homogene koordinate postale splošno sprejeto orodje za algebrsko obravnavanje projektivne geometrije. Ukvarjal se je z ravnimi površinami in podal novo opredelitev krivulj in površin. Delal je v mirni osamljenosti in prišel še do drugih zanimivih odkritij, kot je na primer ničelni sistem v teoriji premičnih kongruenc, ki ga je vpeljal v svojem učbeniku o statiki (1837).

Najbolj znan je po odkritju prve enostranske in neusmerjene ploskve z robom, Möbiusovega traku, s čimer je bil eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta 1858 proučeval tudi nemški matematik Johann Benedict Listing.

Ukvarjal se je tudi s teorijo števil, kjer je znana njegova Möbiusova funkcija, ki se uporablja tudi v kombinatoriki in je določena kot:

$\mu (n)=\{\begin{array}{cc}1;& n=1\\ (-1{)}^k;& n=\prod p^k\\ 0;& p^2|n\end{array}.$

Zgoraj je $p$ praštevilo, pri $\mu (n)=0$, je $n$ deljiv s kvadratom. V teoriji števil je pomembna tudi vsota, ki se imenuje tudi Mertensova funkcija:

$M(n)=\sum _{k=1}^n\mu (k).$

Ta funkcija je v tesni zvezi z lego ničel Euler-Riemannove funkcije ζ(·). Zvezo med obnašanjem funkcije $M(n)$ in Riemannovo domnevo je poznal že Stieltjes.

Möbius se je ukvarjal tudi s teorijo grafov, kjer so znani njegovi grafi imenovani Möbiusove lestve ali lestvice $M_n$, ki se jih dobi iz cikla $C_{2n}$ tako, da se poveže vsak par diagonalno nasprotnih točk.

V kompleksni analizi so znane njegove Möbiusove transformacije, ki so ulomljene linearne funkcije:

$l:\overline{ℂ}⟶\overline{ℂ}l:z⟼\frac{az+b}{cz+d},$

ki zadoščajo omejitvi:

$ad-bc\ne 0.$

Möbiusova transformacija, ki ni enakost, ima kvečjemu dve negibni točki, Möbiusova transformacija, ki ohranja tri točke, pa je enakost. Transformacija je natanko določena z matriko koeficientov. Zaradi omejitve je matrika obrnljiva, v njej se lahko vidi element splošne linearne grupe $GL(2,ℂ)$. Möbiusova transformacija s superpozicijo kot produktom je grupa.

Priznanja

Poimenovanja

Po njem se imenuje udarni krater Möbius na Luni in asteroid glavnega pasu 28516 Möbius.

Glej tudi

• Möbiusova grupa
• Möbiusova inverzna formula

Zunanje povezave

• Stran o Augustu Ferdinandu Möbiusu Univerze svetega Andreja Predloga:Ikona en
• Predloga:Projekt Matematična genealogija