Von Staudt-Clausenov izrek

Von Staudt-Clausenov izrek je v teoriji števil izrek o ulomljenem delu Bernoullijevih števil. Če k Bernoullijevemu številu B_n prištejemo 1/p za vsako takšno praštevilo p, da $p-1$ deli n, dobimo celo število.

Izrek omogoča zapis imenovalcev neničelnih Bernoullijevih števil B_n kot produkt vseh takšnih praštevil p, da $p-1$ deli n. Zaradi tega so imenovalci deljivi brez kvadrata in deljivi s 6.

Izrek sta neodvisno odkrila Karl von Staudt (1798–1867) in Thomas Clausen (1801–1885) leta 1840. Izrek je odkril tudi Ramanudžan.

Von Staudt-Clausenova formula je dana z:

$(-1{)}^n{B}_{2n}\equiv \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\in \mathbb{P}}{(p-1)|2n}}\frac{1}{p}(\mathrm{mod}1);n>0,$

oziroma z:

$B_{2n}=A_n-\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\in \mathbb{P}}{(p-1)|2n}}\frac{1}{p};n>0,$

kjer je $A_n$ celo število Predloga:OEIS.

Za prvih nekaj neničelnih Bernoullijevih števil je vsota enaka:

$B_2=1-1/2-1/3=1/6,$

$B_4=1-1/2-1/3-1/5=-1/30,$

$B_6=1-1/2-1/3-1/7=1/42,$

$B_8=1-1/2-1/3-1/5=-1/30,$

$B_{10}=1-1/2-1/3-1/11=5/66,$

$B_{12}=1-1/2-1/3-1/5-1/7-1/13=-691/2730,$

$B_{14}=2-1/2-1/3=7/6,$

$B_{16}=-6-1/2-1/3-1/5-1/7-1/13=-3617/510,$

$B_{18}=56-1/2-1/3-1/5-1/11=43867/798,$

$B_{20}=-528-1/2-1/3-1/5-1/11=-174611/330.$

Praštevila, ki nastopajo v imenovalcih, tvorijo zaporedje Predloga:OEIS:

2, 3, 2, 3, 5, 2, 3, 7, 2, 3, 5, 2, 3, 11, 2, 3, 5, 7, 13, 2, 3, 2, 3, 5, 17, 2, 3, 7, 19, 2, 3, 5, 11, 2, 3, 23, 2, 3, 5, 7, 13, 2, 3, ...

Viri

• Predloga:Navedi splet

• Predloga:MathWorld